第2章 第4讲 幂函数与二次函数-【勤径学升】2025年高考数学一轮总复习（人教B版2019）

第二章函数的概念与基本初等函数回 数.由此结论可求f(x)=工 、x于工十2十…十 感悟方法 8的对称中心为 函致的奇偶性是特殊的对称性，利用f(x十a) ( 是奇函数或偶函数可以得到函数∫(x)图象的 A.(1011,1011) B.(-1011,2021) 对称性，进而可以结合图象求解问题. c.() 1 D.（-20221011） 第4讲 幂函数与二次函数 课标多求！ 1了解幂函数的概念，结合函数y=xy=小y=y=xy=的图象，了解它们的变化情况。 2,理解二次函数的图象和性质，能用二次函数，方程，不等式之间的关系解决简单问题 必备知识 夯实四基⑦ [对应答案P365 知识梳理 顶点式：f(x)=a(x一m)十n(a≠0)，顶点坐标 为图 1.幂函数 零点式：f(x)=a(x-x1)(x一x2)(a≠0)，xx (1)幂函数的定义 为f(x)的零点. 一般地，函数回 叫做幂函数，其中x是自 (2)二次函数的图象和性质 变量，a是常数 (2)常见的五种幂函数的图象 y=ar'+hrte y-ar+br+e 函数 (a>0) (a<0) 4 图象 (抛物 r=rl 线) 定义域 (3)幂函数的性质 值域 Aac-b (。] ①所有的幂函数在区间(0，十∞)上都有定义，因 此在第一象限内都有图象，并且图象都通过点 对称轴 x=固 1,1). 顶点 ②@如果α>0，则幂函数的图象通过原点，并且在 坐标 区间[0，十∞)上是增函数. 奇偶性 当b一0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 ③如果a<0,则幂函数在区间(0，十c∞)上是减函 数，且在第一象限内：当x从右边趋向于原点时， 在(，品]上在(-，品]上 图象在y轴右方且无限地通近y轴：当x无限增 是函数： 是回函数： 单调性 大时，图象在x轴上方且无限地逼近x轴。 在[-会+)上在[-名+)上 2.二次函数 是函数 是四函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)=☒ 31 国高考一轮总复习·数学·RJB 常用结论 3.(教材改编题)若函数f(.x)=x2一2.x十1有负值， 1.二次函数的单调性，最值与抛物线的开口方向和 则实数a的取值范围是 () 对称轴及给定区间的花围有关， A.(-c∞，-2] a>0, B.(-o∞，-2]U[2,十c∞) 2.若f(x)=ax+b.x+c(a≠0)，则当 时，恒 4<0 C.(-,-2)U(2,+∞) a0, 有f(x)>0:当 时，恒有f(x)<0. D.(2,十o) 1△0 易错自纠 3.(1)暴函数y=x°中，a的取值影响幕函数的定义 4.(二次函数性质不明致错)已知函数f(x)=a.x 域、图象及性质： x十1在区间(1，十o)上单调递增，则实数a (2)暴西数的图象一定会出现在第一象限内，一 的取值范围为 定不会出现在第四象限 诊断自测 A(o2] B(-0,-) 思考辨析 c(分+) n[3+) 1.判断（在括号内打“√”或“×”） 5.(二次函数图歌特在不明致错)已知函数y=a.x (1)函数y=2x是幂函数. +b.x+c,如果a>b>c且a+b十c=0,则它的图 (2)当a>0时，幂函数y=x在(0，十∞)上是增 象可能是 函数. (3)当n是偶数时，幂函数y=x(m,n∈Z,且m 是奇数)是偶函数， (4)二次函数y=a.x+b.x十c(x∈[a,b们)的最值 一定是4ac一B Aa 教材衍化 2.(教材改编题)已知函数f(x)=(m2一4m十5).x" (n∈R)为幂函数，则m= A.-1 B.1 C.-2 D.2 提升能力 考点剖析⊙ [对应答案366 考点 幂函数的图象与性质（题组通关） 1.（多选)幂函数f(x)=(m2-5m十7)x"-在 C.函数f(r)是偶函数 (0,十∞)上是增函数，则以下说法正确的是 D.函数f(x)的图象关于原点对称 2.已知幂函数y=x(p∈Z)的图象关于y轴对 A.m=3 称，如图所示，则 () B.函数f(x)在（一∞，0）上单调递增 盛32 第二章函数的概念与基本初等函数回 C.(-∞，-1)U(4,+∞) D.(-1.4) 感悟方法 (1)幂函敛的形式是y=x(a∈R),其中只有 个参数α，因此只需一个条件即可确定其解 A.p为奇数，且p>0B.p为奇数，且<0 析式 C.p为偶数，且p>0D.p为偶数，且p<0 (2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图 3.已知4=2，b=4,c=25.则 象越靠近x轴（简记为“指大图低”），在区间(1， A.b<a<c B.a<K<c 十○)上，暴函数中指数越大，函数图象越远离 C.b<c<a D.c<a<b x轴 4.已知函数f(x)=x+3-3‘,若f(a°-2a)+ (3)在比较暴值的大小时，必须结合暴值的特点， f(5a一4)<0，则实数a的取值范围为 ( 选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确 A.(-∞，-4)U(4,+o∞) 掌挺各个幂西数的图象和性质是解题的关键， B.(-4,1) 考点2 二次函数的解析式（师生共研） [例1]已知二次函数f(.x)满足f(2)=一1，f(一1)=一1，且f(x)的最大值是8，则f(x)= 感悟方法 求二次函数解析式的方法 二点坐标 选用般式 顶点坐标 :知 对称袖 达用面点式 最人小伯 与x轴两交点坐标 选用岑点式 令变式训练 已知二次函数f(x)=a.x+b.x十c的对称轴是直线x=1,且不等式f(x)≤2x的解集为[1,3]，则f(x)的 解析式是f(x)= 考点3 二次函数的图象与性质（多维探究） 角度1二次函数的图象 例2]（多选）设abc<0,则函数y=a.x2+hr十c 感悟方法 的图象可能是 识别二次函数图象应学会“三看” · 看一次项系数的符号.它确定了一次 符号 函数图象的并口方向 看对称轴和最估.它确定了一次明数 对称袖 剁除的只休位置 石啊数图家上的一些特殊点如函数 侍殊点 例象与)轴的交点、与x拍的交点， 两数图象的最高点成爱低点等 33 国高考一轮总复习·数学·RJB 角度2二次函数的单调性与最值 感悟方法 [例3]已知函数f(x)=kx2十(3+k)x十3，其中k (1)二次西数在闭区间上的最值主要有三种类 为常数 型：轴定区间定，轴动区间定，轴定区间动，不论 (1)若f(2)=3,求函数f(x)的表达式： 哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位 (2)在(1)的条件下，设函数g(x)=f(x)一mz, 置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的 若g(x)在区间[-2,2]上是单调函数，求实数 位置关系进行分类讨论 m的取值范围： (2)二次西数的单调性问题主要依据二次西数 (3)是否存在使得函数f(:x)在[一1,4]上的 图象的对称轴进行分类讨论求解. 最大值是4？若存在，求出k的值：若不存在，请 令变式训练 说明理由。 L.设函数f(x)=x2十x十a(a>0),若f(m)<0,则 () A.f(m+1)≥0 B.f(m+1)≤0 C.f(m+1)>0 D.f(m十1)<0 2.已知函数f(x)=x十2.x十3，x∈[m,0]的最大 值为3，最小值为2，则实数加的取值范围是 请完成《课时检测训练9》 第5讲 指数与指数函数 课标求！ 1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质. 2.通过实例，了解指数函数的实际意义，能用描点法或借助计算工具画出指数函数的图象， 3,理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用. 必备知识 夯实四基⑦ [对应客案p36 知识梳理 ,a≥0， ⑤ar=a= (n为大于1的 a<0 1.根式的概念及性质 偶数). (1)概念：式子a叫做① ,这里n叫做根指 2.分数指数幂 数，a叫做被开方数 规定：正数的正分数指数幂的意义是a= (2)①☑ 没有偶次方根。 ☑(a>0,m,n∈N°，且n>1):正数的负分 ②0的任何次方根都是0，记作0=图 数指数幂的意义是a于=图 (a>0,m, ③(a)"=④(n∈N,且n>1). n∈N”,且n>1):0的正分数指数幂等于0：0的 ①a”=a(n为大于1的奇数). 负分数指数幂回 34所以 f(4+x)=-f(2+x)=f(x), 所以函数 y=f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(x)的周期为4,则g(2023)=f(2 024)=f(0)= 所以 f(0)=log?a=0,解得a=1, 即 f(x)=log?(x+1),f(1)=1og,2=1.0,B正确； 但不能说明g(x)最小正周期为4,C错误.故选 ABD. 因为y=f(x+1)为偶函数，所以f(x+1)=f(-x+1), 即 y=f(x)的图象关于直线x=1对称. 又y=f(x)满足f(-x)=-f(x), 自主培优3 ∵f(x)=x-2x+1+sinx[典例 1](1)D解析 x2+1 1+=2*+t-. 面数u(x)==221为奇函数， 由于奇函数的图象关于原点对称， ∴u(x)x+u(x)mn=0, 所以f(x+1)=-f(x-1),则f(x+2)=-f(x),f(x+ 4)=-f(x+2)=f(x), 即函数y=f(x)是周期函数，周期为4,则f(2 022)+ f(2 023)=f(2)+f(3)=-f(0)-f(1)=-1. (2)B解析 由题知，设f(x)的对称中心为(a,b),则y=f(x +a)-b为奇函数. 即[f(-x+a)-b]+[f(x+a)-b]=0,即f(x+a)+ f(-x+a)-2b=0. 从而 f(x)mx+f(x)mn=a+b=[u(x)mx+1]+ [u(x)mn+1]=2,故选 D. 又f(x)=+1+2+⋯++2021=2 021 -(+1+⋯++20T), (2)C 解析 令函数g()=t+÷+tan1,则g(-1)=-t- ÷+tan(-1)=-(t+÷+tanx)=-g(), 所以函数g(t)为奇函数，其图象关于原点对称， f(a+a)=2 021-(z+a+T⋯+z+a+2o?ī)·所以. 可得f(x)=x-1++tan(x-1)+2的图象关于点 f(-x+a)=2021-(=x+a+i+⋯+=x+a+202ī)= 2021-(=x+a+2021+⋯+=zla+i)· 则 f(x+a)+f(-x+a)-2b (1,2)中心对称， 即当x?+x?=2时，可得f(x?)+f(x?)=4. 设M=f(2o22)+f(2022)+f(202)+⋯+ =4042-[a+a+]]=2,Ya+202T+⋯+ c-a+a+1cfa+2o?T]-20=0恒成立，r(202)· M=r(2022)+r(2022)+f(2022)+⋯+f(202z), 所以2M=[r(z02a)+f(2022)]+[r(z0za)+ 则a=-1011,b=2 021. 第4讲 幂函数与二次函数 [必备知识 夯实四基] r(202)]+⋯+[(2022)+r(2)] f(202)+f(202z)+=2 022×4=8 088,所 以 f(20zz)+⋯+f(2022)=4044. 知识梳理 ③-金y=x°②ax2+bx+c(a≠0) 3(m,n) ④R [ @(-?c-6 ?减 图增 四增 四减 诊断自测 [典例2](1)(-1,1) 解析 显然f(-x)=21-1+(-x)2= 2+x2=f(x),f(x)是偶函数， 当x≥0时，f(x)=2?+x2是增函数， 1.(1)×(2)√(3)√(4)× 2.D 解析 由已知，得m2-4m+5=1,解得m=2. 3.C 解析 f(x)=x2-ax+1=(x-号)+1-5,,要使函 数有负值，则共最小值f(x)m=1—宁<0,解得a<-2或 所以不等式 f(2x-1)<f(x-2)?f(|2x-1|)<f(lx- 21),即|2x-1|<|x-2|, (2x-1)2<(x-2)2,3x2-3<0,解得-1<x<1. a>2. (2)(-~,-2)u(-2,+~) 解析 由题意可知，f(x) 为偶函数，且在(一～,0)上单调递增， 4.D 解析当a=0时，函数f(x)=-x+1是实数集上的减 函数，不符合题意； 当a40时，二次面数/u)=u2-x+1的对称轴为直线4一去。 所以 f(x)在(0,+o)上单调递减.又因为f(3-la+1)> r(-得)=r(等)· 解得0之去由题意有·所以0<37m<督，,化简整理，得3-la+1l<3-+ 所以-la+1|<一立，解得a<一言或a>-号， 5.A 解析 由题意，函数 y=ax2+bx+c, 因为a+b+c=0,令x=1,可得y=a+b+c=0,即函数图象 过点(1,0). (-~,-2)U(-2,+~).故a的取值范围为| 又由a>b>c,可得a>0,c<0,所以抛物线的开口向上，可排 除 D项，[典例3](1)A 解析因为函数 y=f(x)的定义域为R,且 f(-x)=-f(x), 令x=0,可得y=c<0,可排除 B、C项.故选 A. ·365· 高考一轮总复习·数学·RJB [提升能力 考点剖析] [变式训练] 考点 1 x2-2x+3 解析 由f(x)≤2x,得ax2+(b-2)x+c≤0,其 1.ABD 解析因为幂函数 f(x)=(m2-5m+7)x"-在 (0,+～)上是增函数， -cd?-1所以 解集为[1,3],则 解得m=3,所以 f(x)=x3, 所以f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x),故f(x)=x3为 奇函数，函数图象关于原点对称， 又函数 f(x)的对称轴是直线x=1,则-”=1, 两者结合解得a=1,b=-2,c=3,所以f(x)=x2-2x+3. 所以f(x)在(一，0)上单调递增.故选 ABD. 考点3 [例2]AB 解析 A中，a<0,b<0,c<0,∴abc<0,符合题意；2.D 解析 因为函数y=x的图象关于y轴对称，所以函数 y=x2为偶函数，即 p为偶数. B中，a<0,b>0,c>0,∴abc<0,符合题意； C中，a>0,b>0,c>0,∴abc>0,不符合题意； 又函数y=x*的定义域为(-~,0)U(0,+~),且在(0, 十～)上单调递减， D中，a>0,b<0,c<0,∴abc>0不符合题意，故选 AB. [例3]解 (1)∵f(2)=4k+2(3+k)+3=3,解得k=-1, ∴f(x)=-x2+2x+3. 则有号<0,所以 p<0. (2)由(1)可得g(x)=-x2+2x+3-mx=-x2+(2-m)x 3.A 解析 a=2*=16*,b=42=16,c=25,幂函数 y= 一在R上单调递增，a<c, +3, 其对称轴方程为x,=22”, 指数函数 y=16°在R上单调递增，b<a,∴b<a<c. 若g(x)在[-2,2]上为增函数，则x?≥2,解得m≤-2; 4.B 解析 f(x)的定义域为R,f(-x)=-x3+3--3?= 一f(x),所以f(x)为奇函数， 若g(x)在[-2,2]上为减函数，则x?≤-2,解得m≥6. 综上可知，m的取值范围为{m|m≤-2或m≥6}. f(a)=x2+8-÷在R上单调递增， (3)当k=0时，函数f(x)=3x+3在[-1,4]上的最大值是 15,不满足条件； 由f(a2-2a)+f(5a-4)<0,得 当k≠0时，假设存在满足条件的k,则f(x)的最大值只可 f(a2-2a)<-f(5a-4)=f(4-5a), 能在一1,4,x。处取得， 所以a2-2a<4-5a,a2+3a-4<0,(a+4)(a-1)<0,解 其中对称轴π=-戎，得-4<a<1. 答案 B ①若 f(x)x=f(-1)=4,则有k-3-k+3=4,k的值不 考点2 存在； [例1]-4x2+4x+7 解析 法一 (利用“一般式”)设 f(x) =ax2+bx+c(a≠0), ②若 f(x)=f(4)=4,则16k+12+4k+3=4,解得k= 一贵，此时，1, 对称轴x;=∈[-1,4],则最大值应在x。处取得，与条件 矛盾，舍去； 由题意得 解得· ③若/x)m=f(a?)=4,则k<0,且1X3*-3+6=4.∴所求二次函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7. 法二(利用“顶点式”)设f(x)=a(x-m)2+n(a≠0), 化简得k2+10k+9=0,解得k=-1或k=-9,满足k<0 ∵(2)=f(-1),·.抛物线的对称轴为x=2+(2D-, 且x?=-2z∈[-1,4], ÷m=2. 综上可知，当k=-1或k=-9时，函数f(x)在[-1,4]上 的最大值是4.又根据题意，函数有最大值8,所以n=8, [变式训练] ∴y=f(a)=a(x-÷)2+8 1.C 解析 因为f(x)的对称轴为x=-去，f(O)=a>0,所 以 f(x)的大致图象如图所示.∵f(2)=-1,:a(2-号)+8=-1,解得a=-4, ∴f(x)=-4(x-号)+8=-4x2+4x+7. yt 法三 (利用“零点式”)由已知f(x)+1=0的两根为x?= 2,x?=-1, 0 故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0),即f(x)=ax2- 由f(m)<0,得-1<m<0,所以m+1>0,所以f(m+1)>ax—2a-1 又面数有最大值8,用(-2a-)-(-创=8,解得a= f(0)>0.2.[-2,-1] 解析 函数f(x)=x2+2x+3的图象是开口朝 -4或a=0(舍). 上，且以直线x=-1为对称轴的抛物线， 故所求函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7. 高考一轮总复习·数学·RJB 当x=-1时，函数取最小值 2. ·366 · 44, 式=(号)*+z2×z?+21×g-(÷)*-23.110 解析 原立 +108=110. 2 4.一 解析 x÷+x*=√5,两边同时平方，得x+x?+21 =5,所以x+x~1=3,-3 -2 -1 0 1 x 对x+x1=3两边同时平方，得 x2+x2+2=9,x2+x2 令f(x)=x2+2x+3=3,则x=0或x=-2, =7, 若函数f(x)=x2+2x+3在[m,0]上的最大值为3,最小值 +x2=6-3=8--2.则：为2,则m∈[-2,-1]. 考点 2第5讲 指数与指数函数 [必备知识 夯实四基] o-[例1](1)B 解析 作出函数 的 图象如图所示，再作出y=2x2+4x+1,x<0关于原点对称 的图象，记为曲线C.容易发现 y=f(x),x≥0与曲线C有 且只有两个不同的交点，所以满足条件的对称点有两对，即 图中的 A,B就是符合题意的点. 知识梳理 四根式 ②负数 ③0 4a 5a G-a 7√a” 8- √a” 9没有意义 0a+a”a'b(0,+)(0,1) y>1 0<y<1 y>1 0<y<1 囫增函数 20减函数 4!” 诊断自测 3 1.(1)× (2)× (3)× (4)× 2| 2.C 解析 对于A,2-π<0,所以√(2-π)2=π—2,错误； 1A 3 2 4 对于B.因为一÷>0.所以a<0,则a√-5=-(-a)· √==-√-a,错误； -2 3 -2 -3| (2)D 解析 作出函数f(x)的图象，如图， 对于C.(m2y-÷)°=(m2)^(u-÷)*=,,正确； 对于 D,(x3-F)3+F=x?-2=x2,错误. 4 3.C 解析 y=0.6°是减函数，所以1>0.6°?>0.61?,1.5> a0b 2 C4本 x1,0.6>0,1.5°?>1,所以b<a<c. 4.c>d>1>a>b 解析 作直线x=1,由图可得c1>d1>1> a1>b,即 c>d>1>a>b. 当x<0时，f(x)=|2?-1|=1-2?∈(0,1), (1)(2) (3)(4) 由图可知，f(a)=f(b)=f(c)∈(0,1),即 4—ty c∈(0,1), 得3<c<4,则8<2°<16. d 由f(a)=f(b),即|2°-1|=|2°-1|,得1-2?=2*-1, 求得2?+2?=2, ∴2?+“+2+=2(2*+2?)=2×2∈(16,32),故选 D. of [变式训练]lx=1 5.(-1,+～) 解析 因为y=2*,x∈R的值域为(0,+～), 1.C 解析 当a>1时，0<÷<1,函数y=a-单调递增， 且图象向下平移- 个单位长度，故 AB错误；当0<a<1时， 所以函数 f(x)=2*-1的值域为(-1,+~). 1a[提升能力 考点剖析] 考点 1 ÷>1,函数y=a-÷: -ia单调递减，且图象向下平移- 个单位 长度，故C正确 D错误.故选 C. 1.D 解析 根据题意，得(10~)2=10-2=10×10-= (10*)3×(10°)2=21×32=号， 2.B 解析 对于不等式2+l<x+2,作出函数 y=2+I与y= x+2的图象如下图所示： 因为10>0,所以10°-√晋-2F y=2*yt 于a=a·e-.2.C 解析 由题意知a>0,当t=50时，有- 即音=(c)”,得C?=√晋. a=.所以当 V=鸢4时，有 a·e-*. 1=x+2 2 理分=(e2y=(号),得(号)=(号).所以t=75. 左-1 0 ·367· 高考一轮总复习·数学·RJB