第2章 第3讲 函数的奇偶性、周期性与对称性-【勤径学升】2025年高考数学一轮总复习（人教B版2019）

国高考一轮总复习·数学·RJB 2.(2023·责州遵义·三模)若奇函数f(.x)在 3.(2022·山东·济南市巧城第二中学模拟)函数 (0,+∞)上单调递增，且f(1)=0,则满足(x》 x-2 十3在区间(1，十0)上是减函数，则 f(x)=+5 <0的x的取值范围是 实数a的取值范围是 A.(-∞，-1)U(0,1) B.(-1,0)U(2,+o) C.(-1,0)U(1,+∞) 请完成《课时检测训练7》 D.(-1,0)U(1,2) 第3讲 函数的奇偶性、周期性与对称性 课标多求！ 1.理解函数奇偶性的含义。 2.了解函数的最小正周期的含义。 3.会利用函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性解决函数性质的综合问题. 对应客案P362 必备知识 夯实四基。 知识梳理 世常用结论 1.函数的奇偶性 1.函数周期性的常用结论 奇偶性 定义 图象特点 对f(x)定义城内任一自变量的值x: 般地，设函数y= (1)若f(x十a)=-f(x),则T=2a(a>0). f(x)的定义域为D,如 (2)若f(x十a)= frr则T=2a(a>0). 1 偶函数 果对D内的任意一个 关于回 对称 x,都有一x∈D,且 (3)若f(x+a)= 1 ,则T=2a(a>0). ① ·则称 2.对称性的四个常用结论 y=f(x)为偶函数 (1)若函数y=f(x十a)是偶函数，则函数y= 一般地，设函数y= f(x)的图象关于直线x=a对称. f(x)的定义域为D,如 果对D内的任意一个 (2)若函数y=f(x十b)是奇函数，则函数y= 奇函数 关于回 对称 x,都有-x∈D,且 f(x)的图象关于点(b,0)中心对称。 ☒ ,则称 (3)若函数y=f(x)满足f(a十x)=f(b-x),则y y=f(x为奇函数 =代)的图象关于直线x=a叶中对称：特别地，当。 2 2.函数的周期性 (1)周期函数：对于函数y=f(x),如果存在一个 =b时，即f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x) 非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时， 时，则y=f八x)的图象关于直线x=a对称. 都有f(x十T)=f(x),那么就称函数y=f(x) (4)若函数y=f(x)满足f(x)十f(2a-x)=2b, 为周期函数，称T为这个函数的周期 则y=f(x)的图象关于点(a,b)对称.特别地，当 (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周 b=0时，即f(a十x)+f(a-x)=0或f(.x)+ 期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就 f(2a一x)=0时，则y=f(x)的图象关于点(a, 叫做f(x)的固 正周期. 0)对称. 26 第二章函数的概念与基本初等函数可 诊断自测】 A.2 点号 思考辨析 C.-2 1.判断（在括号内打“√”或“×”） n-号 (1)函数y=x在x∈(0，十∞)上是偶函数. 3.(教村改编题)若函数f(x)满足f(x十3)= ( f(x-1),且当x∈[-2,0]时，f(x)=3+1, (2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)=0. 则f(2022)= () ( AD B.10 (3)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z,n≠0) 也是函数的周期. C.4 ( ) D.2 (4)若函数f(x)满足关系f(a+x)=一f(b一 易错自纠 x),则函数✉)的图象关于点（士0）对称， 4.(判史函数奇偶性丸视定义域政误)函数f(x)一 4是 函数.（填“奇”“偶”“非 教材衍化 奇非偶”) e,r≥0， 5.(不能灵活利用函数性质致误)已知函数f(x)对 2.(教材改编题)已知函数f(x)= 为偶 g(x),x<0 任意实数x都有f(1一x)=f(1+x),当x>1 函数，则gn)月 时x)=马则-D 提升能力 考点剖析⊙ [对应答案P363 考点 函数的奇偶性（多雏探究） 角度1函数奇偶性的判断 感悟方法2 例1门判断下列函数的奇偶性。 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： afx)=-:2)x)=x++ Ig(4-r) (1)定义城关于原点对称，这是函数具有奇偶性 r 的必要不充分条件，所以首先考虑定义战： (3)f(x)=x-1+√1-x: (2)判断f(x)与f(一x)是否具有等量关系，在 x2+2x+1,x>0, (4)f(x) 判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性 .x3+2x-1,x<0. 的等价等量关系式(f(x)+f(一x)=0(奇函 数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数)是否成立. 角度2函数奇偶性的应用 [例2](1)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且 当x<0时，f(x)=x一x+1,则函数f(.x)的解 析式为 2(202·金mz®)若1x)=na+己十 b是奇函数，则a= ,b= 27图 国高考一轮总复习·数学·RJB 感悟方法 冬变式训练 1.(多选)已知奇函数f(x)与偶函数g(x)的定义 1.利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取 域、值域均为R,则下列结论正确的是() 值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已 A,f(x)十g(x)是奇函数 知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用 B.f(x)g(x)|是奇函数 方程思想求参数的值 C.f(x)g(x)是偶函数 2.画西效图象：利用函数的奇偶性可画出函数 D.f(g(x))是偶函数 在其对称区间上的图象，结合几何直观求解 2.已知函数f(x)=2022.x+in·cosx+e- 1十x 相关问题. e1+3,f(a)=-3,则f(-a)= 考点2 函数的周期性（师生共研） [例3](2022·新高考Ⅱ卷)若函数∫(x)的定义 得到函数的整体性质，在解决具体问题时，耍 域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(.x)f(y), 注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z f1)=1,则2f(k)= ( 且k≠0)也是函数的周期. A.-3 B.-2 C.0 D.1 。变式训练 感悟方法 (2021·全国甲卷)设函数f(.x)的定义域为R,f(x +1)为奇函数，f(x十2)为偶函数，当x∈[1,2]时， 1.判断西数的周期性只需证明f(x十T)= (x)(T≠0)，便可证明函数是周期函数，且 x)=a+6若f0)+3)=6,则（号） 周期为T,函数的周期性常与函数的其他性 质综合命题. 9 c D. 2.根据函效的周期性，可以由函数局部的性质 考点3 函数的对称性（师生共研） 例4](2022·全国乙卷)已知函数f(.x),g(x)的 (2)若函数f(x)满足f(a十x)=一f(b一x),则 定义域均为R,且f(x)十g(2一x)=5,g(x) y=f)的图象关于点(，0)对称 f(x-4)=7.若y=g(.x)的图象关于直线x=2 对称，g(2)=4,则芝f(k) (3)若函数f(x)满足f(a十x)十f(b-x)=c, ( A.-21B.-22 C.-23 D.-24 则函教)的图泉关于点（士兰，号）对称。 感悟方法 冬变式训练必 对称性的三个常用结论 1.(2023·福建福州·三模)定义在R上的函数 (1)若函数f(x)满足f(a十x)=f(b-x),则y f(x)满足f(2一x)=2一f(x).若f(x)的图象 =)的图泉关于直线=生对称。 关于直线x=3对称，则下列选项中一定成立的 28 第二章函数的概念与基本初等函数回 是 +f(-2021)+…+f(-1)+f(0)+f(2)+ A.f(-3)=1 B.f(0)=0 f(3)+…+f(2023)+f(2024)= () C.f(3)=2 D.f(5)=-1 A.10130 B.10132 2.(2022·河南·许昌高中高三模拟)已知函数 C.12136 D.12138 f(x)=sin(x-1)+ (x-1)+3,则f(-2022) 考点4 函数性质的综合应用（多维探究） 角度1单调性与奇偶性 角度2奇偶性与周期性 [例5](1)(2022·山东日照·一模)已知奇函数 [例6] (2023·红西鑫潭·二模)已知f(x)是定 f(x)在R上是增函数，g(x)=xf(x).若a= 义在R上的奇函数，若f(+)为偶函数且 g(-log25.1),b=g(2.),c=g(3),侧a,b,c的 f(1)=2,则f(2020)+f(2021)+f(2022) 大小关系为 ( A.a<K<c B.c<b<a A.-2 B.4 C.-4 D.6 C.K<a<c D.h<c<a 感悟方法 (2)(2022·山东聊城·二模)已知f(.x)为R上 周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题， 的奇函数，f(2)=2,若对五，2∈(0，十∞)，当 常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数 x>时，都有（一 []< 值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内 T: 求解. 侧不等式(x+1)f(x+1)>4的解集为( 角度3对称性与周期性 A.(-3,1) [例7]（多选）(2022·山东淄博·三模)已知定义 B.(-3,-1)U(-1,1) 在R上的偶函数f(x),满足f(x)十f(2一x) C.(-∞，-1)U(-1,1) =2,则下列结论正确的是 () D.(-0,-3)U(1,+o∞) A.f(x)的图象关于直线x=1对称 B.f(x+4)=f(x) 感悟方法 C.若函数f(x)在区间[0,1门上单调递增，则 f(x)在区间[2021,2022]上单调递增 1,比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把 D.若函数f(x)在区间(0,1)上的解析式为 不在同一单调区间上的两个或多个自变量的 f(x)=lnx+1,则f(.x)在区间(2,3)上的 函数值转化到同一单调区间上，再利用函数 解析式为f(.x)=ln(x一1)+1 的单调性比较大小： 感悟方法 2.对于抽象函数不等式的求解，应变形为f(x,) 函数f(.x)满足的关系f(a十x)=f(b一x)表明 >f(x)的形式，再结合单调性，脱去“∫”变 的是函数图象的对称性，函数(x)满足的关系 成常规不等式，转化为黑1<工（或1>x) f(a十x)=f(b十x)(a≠b)表明的是函数的周 求解 期性，在使用这两个关系时不要混淆。 29 国高考一轮总复习·数学·RJB 多变式训练多 2.(多途)(2022·江苏盐城·三模)已知函数f(,x) 1.(2022·北章丰台·二模)已知偶函数f(x)在区 为R上的奇函数，g(x)=f(x十1)为偶函数，下 间[0，十o)上单调递减.若f(gx)>f(1),则 列说法正确的有 () x的取值范围是 A.f(x)图象关于直线x=一1对称 A(品) B.g(2023)=0 C.g(x)的最小正周期为4 B(0,0U4,+∞) D.对任意x∈R都有f(2-x)=f(x) c(0o) D.(0,)U10.+o) 请完成《课时检测训练8】 自主培优3函数奇偶性的拓广性质及应用 ,对亚答案P365 函数的奇偶性是高考的重点内容之一，特别 性质二 若函数(x)为偶函数，则∫(x) 是与函数其他性质的综合应用更加突出，这类问 =f(x) 题从通性通法的角度来处理，显得较为繁琐，若 [典例2](1)函数f(.x)=2十x,则不等式 能灵活利用函数的奇偶性的性质，常能达到化难 f(2x一1)<f(x-2)的解集为 为易、事半功倍的效采，以下归纳出奇、偶函数的 (2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当 一组性质及其应用， x<0时，f(x)单调递增.若实数a满足 性质一 若函数∫(x)是奇函数，且g(x) f3)>(-),则a的取值范围是 f(x)+c.g(-x)+g(x)=2c 典例1订（1)设函数f(x)=-1)十sn±的最 x+1 感悟方法 大值为a,最小值为b,则a十b= ( 利用偶函数(x)的性质f(x)=f(|x)可以避 A.-1 B.0 C.1 D.2 (2)设函数y=f(x)的定义域为D,若对任意的 免繁杂的讨论，减少计算量，在解函数不等式中 x1,x∈D,且x1十=2a,恒有f(x)十f(x2) 经常用到. =2b,则称函数f(x)具有对称性，其中点(a,b) 性质三 函数f(x+a)是偶函数可得函数 为函数y=f(x)的对称中心.研究函数f(x)= f(x)的图象关于直线x=a对称：函 x十1十二】十tan(x一1)的对称中心，则 数f(x+a)是奇函数，可得函数(x) 的图象关于点(a,0)对称 十…十 [典例3](1)已知定义在R上的函数y=f(x)满 r28 ( 足f(-x)=一f(x),函数y=f(x+1)为偶函 数，且当x∈[0,1]时，f(x)=log(x+a),则 A.2022 B.4043 C.4044 D.8086 f(2022)+f(2023)= 感悟方法 A.-1 B.1 解决这类问题的关键在于仔细观察，洞彻西数 C.504 D.无法确定 的结构，然后对函数进行变形，构造出一个奇函 (2)函数y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心对 数，利用函数值的特征求值 称的充要条件是函数y=f(x十)一b为奇函 30 第二章函数的概念与基本初等函数回 数.由此结论可求f(x)=工 、x于工十2十…十 感悟方法 8的对称中心为 函致的奇偶性是特殊的对称性，利用f(x十a) ( 是奇函数或偶函数可以得到函数∫(x)图象的 A.(1011,1011) B.(-1011,2021) 对称性，进而可以结合图象求解问题. c.() 1 D.（-20221011） 第4讲 幂函数与二次函数 课标多求！ 1了解幂函数的概念，结合函数y=xy=小y=y=xy=的图象，了解它们的变化情况。 2,理解二次函数的图象和性质，能用二次函数，方程，不等式之间的关系解决简单问题 必备知识 夯实四基⑦ [对应答案P365 知识梳理 顶点式：f(x)=a(x一m)十n(a≠0)，顶点坐标 为图 1.幂函数 零点式：f(x)=a(x-x1)(x一x2)(a≠0)，xx (1)幂函数的定义 为f(x)的零点. 一般地，函数回 叫做幂函数，其中x是自 (2)二次函数的图象和性质 变量，a是常数 (2)常见的五种幂函数的图象 y=ar'+hrte y-ar+br+e 函数 (a>0) (a<0) 4 图象 (抛物 r=rl 线) 定义域 (3)幂函数的性质 值域 Aac-b (。] ①所有的幂函数在区间(0，十∞)上都有定义，因 此在第一象限内都有图象，并且图象都通过点 对称轴 x=固 1,1). 顶点 ②@如果α>0，则幂函数的图象通过原点，并且在 坐标 区间[0，十∞)上是增函数. 奇偶性 当b一0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 ③如果a<0,则幂函数在区间(0，十c∞)上是减函 数，且在第一象限内：当x从右边趋向于原点时， 在(，品]上在(-，品]上 图象在y轴右方且无限地通近y轴：当x无限增 是函数： 是回函数： 单调性 大时，图象在x轴上方且无限地逼近x轴。 在[-会+)上在[-名+)上 2.二次函数 是函数 是四函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)=☒ 31对于D.f(x)=1x-4l={-4x≥4: 又当 x∈(0,+~)时，一f(x)单调递增，所以当x∈显然函数在区间(1, +～)上不是单调函数，故 D不可选.故选 AC. (0,+～)时，f(x)单调递减. 又π>3>2,所以f(π)<f(3)<f(2),即f(π)<f(-3) 考点 2 <f(-2). f(a)-2·3+1-1+2sn x-2- f(x?)-f(x?)[例4]C 解析 因为对于任意的x?≠x?,都有： x?-x?[例2](1)3 解析 3++2ihx, x∈[-吾·音],,所以y=2-g+·y=2sin x是增因为 函数， <1, 当x?>x?时，f(x?)-f(x?)<x?-x?,即f(x?)-x?< f(xa)一x。 当x?<x?时，f(x?)-f(x?)>x?-x?,即f(x?)-x?> f(x)—x 所以f(x)是增函数，所以当x=一吾时，f(x)取得最小值 N=3+ 即g(x)=f(x)-x在定义域R上单调递减. 又y=f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)=0, 所以g(0)=f(0)-0=0,则f(m)>m,即f(m)-m>0, 当x=吾时，f(x)取得最大值M=4- 所2M+N-4-3+m-3+-3. 即g(m)>g(0),所以m<0, 即不等式f(m)>m的解集为{m|m<0}.故选C. [例5]B 解析 依题意，函数f(x)是在(-2,+心)上的单调 函数， 由于y=log?(x+2)+b在(-2,0)上单调递增，所以(2)1 解析 法一 在同一坐标系中， f(x)在(-2,+~)上单调递增，作函数f(x),g(x)的图象，依题意，h(x)的图象为如图所示 的实线部分. 所以b>0且1+b≤2,即0<b≤1. 所以“?”是“函数 f(x)={(m+Qr+2)+b.-2<<043 是 y=h(x)A) 在(-2,+心)上的单调函数”的必要不充分条件. 0 2 x3 [变式训练] 1.B 解析 因为f(1)=f(3),所以二次函数f(x)=ax2+bx +c的对称轴为x=2. 易知点 A(2,1)为图象的最高点，因此h(x)的最大值为 h(2)=1. 法二 张期卷A()-12 又a<0,所以f(4)<f(3)<f(2).又f(1)=f(3),所以f(4) <f(1)<f(2). 当0<x≤2时，h(x)=log?x是增函数； 当x>2时，h(x)=3-x是减函数， 因此h(x)在x=2时取得最大值h(2)=1. 2.D 解析由f(x)是奇函数在(0,+～)上单调递增，且 f(1)=0可知，当x∈(-1,0)U(1,+)时，f(x)>0;当 x∈(-0,-1)U(0,1)时，f(x)<0, 又<0={-20{2>0。 [变式训练] 解得-1<x<0或y=z=3=1+241.A 解析 因为 在x∈[2,5]上单调递 1<x<2. <0故满足 的x的取值范围是-1<x<0或1<x<2.减，因此2<4=i<5. 若m≤2,则 (a)=!的最大值为5,符合题意； f(a)=二3,3.(—2,4)解析 函 数 定义域为 x∈ 若2<m≤5时，f(x)的最大值为f(2)与f(5)中较大的， (-～,a-3)U(a-3,+~), f(α)=2-4=8+3+2=1+?-4+3· 因为函数f(x)=2二±年34 由f(2)=f(5),即|5-m|+m=|2-m|+m,解得 m=子， 显然2<m≤圣时，f(x)的最大值为5,m>号：时，f(x)的最 大值不为定值. 综上可得，m<子1 在区间(1,+～)上是减函数，所以 y=-4+3只需 在区间(1,+～)上是减函数，因此 -32时，f(x)在[2,5]上的最大值是 5.故 解得-2<a≤4.选 A. 2.1 解析 x∈(一，1)时，f(x)=e单调递增，f(x)≤ 第3讲 函数的奇偶性、周期性与对称性 f(1)=e1-1=1; [必备知识 夯实四基] x∈(1,+≈)时，f(x)=÷-x+1单调递减，f(x)<十 知识梳理 f(-x)=f(x) ②y轴 3f(-x)=-f(x)④原点 ⑤最小 -1+1=1. 所以 f(x)的最大值为1. 诊断自测考点 3 [例3]C 解析因为f(x)为偶函数，所以f(-2)=f(2), 1.(1)× (2)× (3)√(4)√ f(-3)=f(3). 2.A 解析 ∵函数f(x)为偶函数， 高考一轮总复习·数学·RJB ·362· ∴当x<0时，-x>0,f(-x)=e~,∴f(x)=e~,即 由a+1二z≠0可得，(1-x)(a+1-ax)≠0,g(x)=e-+ a=“#1=-1,解得a=-号，所以又ln÷=-1n 2<0,故g(ln去)=e-1n+=e2=2. 即函数的定义域为(-～,-1)U(-1,1)U(1,+),再 3.B 解析由f(x+3)=f(x-1),得f(x+4)=f(x), ∴函数f(x)是周期函数，且4是它的一个周期.又当x∈ 由f(0)=0可得，b=In 2. f(a)=In|-号+1=|+1n2=In即 ,在定义域 内满足f(-x)=-f(x),符合题意. [-2,0]时，f(x)=3-*+1,∴f(2 022)=f(4×506-2) =f(-2)=9+1=10,故选 B. (12+3-3, [变式训练]4.奇 解析 由 得-1<x<0或0<x<1,即 f(x)的定义域为(-1,0)U(0,1), 1.BD 解析 对于A选项，因为f(-x)+g(-x)=-f(x) +g(x)≠f(x)+g(x)且f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x) ≠-[f(x)+g(x)],所以f(x)+g(x)既不是奇函数也不是 偶函数，故 A错误； 所以f(a)=坚1,所以/(-x)=1g(L=2=-f(x), 所以 f(x)是奇函数. 对于B选项，因为f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|, 所以f(x)|g(x)|是奇函数，故B正确；5.号 解析 f(1-x)=f(1+x),取 x=2得到 f(-1)= 对于C选项，因为f(-x)g(一x)=-f(x)g(x)≠f(x) g(x),所以f(x)g(x)是奇函数，不是偶函数，故C错误； 对于D选项，因为f(g(一x))=f(g(x)),所以f(g(x)) 是偶函数，故D正确. f(3)=3--. [提升能力 考点剖析] 考点 1 2.9 解析 令g(x)=f(x)-3=2 022x+cosx+e -e“,定义域为R, [例1]解 (1)原函数的定义域为{x|x≠0},关于原点对称，并 且对于定义城内的任意一个x都有f(-x)=(-x)°-二 =-(x-÷)=-f(x),从而函数f(x)为奇函数. (1--21+c+4≠0 且g(-x)=-2 022x+1(二2)·(-x)+e-e =-g(x), 所以g(x)为奇函数，(2)由 得-2<x<2,即函数f(x)的 所以g(-a)=-g(a)=-f(a)+3=3+3=6, 即g(-a)=f(-a)-3=6,故f(-a)=6+3=9. 定义域是{x|-2<x<2},关于原点对称. f(a)=c?-(-c)?0=÷lg(4-x),所以 f(-x)因此 考点 2 [例3]A 解析因为f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),令=f(x),因此函数f(x)是偶函数. x=1,y=0可得，2f(1)=f(1)f(0),所以f(0)=2;令x =0可得，f(y)+f(-y)=2f(y),即f(y)=f(-y), 所以函数f(x)为偶函数；令y=1,得f(x+1)+f(x-1) (3)f(x)的定义域为{—1,1},关于原点对称. 又f(-1)=f(1)=0,f(-1)=-f(1)=0, 所以 f(x)既是奇函数又是偶函数。 =f(x)f(1)=f(x),(4)如图，作出函数f(x)的图象，由奇函数的图象关于原点 对称的特征知函数f(x)为奇函数. 即有f(x+2)+f(x)=f(x+1),从而可知f(x+2)= -f(x-1),f(x-1)=-f(x-4),故 f(x+2)=y 2 f(x-4),即f(x)=f(x+6),所以函数 f(x)的一个周 18 期为 6. 文-1 0 因为f(2)=f(1)-f(0)=1-2=-1,f(3)=f(2)-:l -1 f(1)=-1-1=-2,f(4)=f(-2)=f(2)=-1,f(5)-2 =f(-1)=f(1)=1,f(6)=f(0)=2, 所以一个周期内的f(1)+f(2)+⋯+f(6)=0.由于 22 除以6余4,解析当 x>0时，-x 所以蒸f(k)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1-1-2-1 <0,所以 f(-x)=(-x)2+x+1=x2+x+1.因为f(x) 是定义在 R上的奇函数，故 f(0)=0,且 f(-x)= 一f(x),所以一f(x)=x2+x+1,所以 f(x)=-x2-x-1. 综上，函数 f(a)的解析式为 =-3. [变式训练] D 解析 由于f(x+1)为奇函数，所以函数f(x)的图象关于 点(1,0)对称， 即有f(x)+f(2-x)=0,所以f(1)+f(2-1)=0,得f(1)= 0,即a+b=0 ①. 由于f(x+2)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x=2 对称， (2)- ln2 解析 因为函数f(x)=1n|a+1=|+b为 奇函数，所以其定义域关于原点对称. 即有f(x)—f(4-x)=0,所以f(0)+f(3)=-f(2)+f(1)= -4a-b+a+b=-3a=6 ②. ·363· 高考一轮总复习·数学·RJB 根据①②可得a=-2,b=2,所以当x∈[1,2]时.f(x)=-2x2 因为x?-x?>0,x?x?>0,所以x?f(x?)-x?f(x?)<0,即 x?f(x?)<x?f(x?).+2. 根据函数f(x)的图象关于直线x=2对称，且关于点(1,0)对 称，可得函数f(x)的周期为4, 设g(x)=xf(x),则g(x)在(0,+～)上单调递减. 而g(x+1)=(x+1)f(x+1)>4=2f(2)=g(2), r(号)=r(去)=-f(2)=2×(2)-2=2.所以J 则 0<x+1<2,解得-1<x<1. 因为f(x)为R上的奇函数，所以g(-x)=-xf(-x)= xf(x)=g(x),考点 3 [例4]D 解析 因为y=g(x)的图象关于直线x=2对称，所 以g(2-x)=g(x+2). 则g(x)为R上的偶函数，故g(x)在(一～,0)上单调递增， g(x+1)=(x+1)f(x+1)>4=g(-2),则-2<x+1 因为g(x)-f(x-4)=7,所以g(x+2)-f(x-2)=7,即 <0,解得-3<x<-1. g(x+2)=7+f(x-2). 综上，原不等式的解集为(-3,-1)U(-1,1). 因为f(x)+g(2-x)=5,所以f(x)+g(x+2)=5, [例6]C解析因为 f(x)是定义在R上的奇函数，且 f(x+号))为偶函数， 代入得f(x)+[7+f(x-2)]=5,即f(x)+f(x-2)= -2, 所以f(3)+f(5)+⋯+f(21)=(-2)×5=-10, 所以f(-x)=-f(x),f(0)=0且f(-x+号)= r(x+号), f(4)+f(6)+⋯+f(22)=(-2)×5=-10. 因为f(x)+g(2-x)=5,所以f(O)+g(2)=5,即f(0)= 1,所以 f(2)=-2-f(0)=-3. 则f[-(x+2)+号]=r[(x+2)+=],即一f(x)因为g(x)-f(x-4)=7,所以g(x+4)-f(x)=7. 又f(x)+g(2-x)=5, =f(x+3), 联立，得g(2-x)+g(x+4)=12, 所以 y=g(x)的图象关于点(3,6)中心对称. 因为函数g(x)的定义域为R,所以g(3)=6. 因为f(x)+g(x+2)=5,所以f(1)=5-g(3)=-1. 所以 Ef(k)=f(1)+f(2)+[f(3)+f(5)+⋯+f(21)]+ 所以f(x+6)=f[(x+3)+3]=-f(x+3)=f(x),即 f(x)是以6为周期的周期函数. 又f(1)=2,f(4)=-f(1)=-2, 所以 f(2 020)=f(6×336+4)=f(4)=-2, f(2 021)=f(6×337-1)=f(-1)=-f(1)=-2, f(4)+f(6)+⋯+f(22)]=-1-3-10-10=-24. f(2022)=f(6×337+0)=f(0)=0, 所以 f(2 020)+f(2021)+f(2022)=-4.故选 C.[变式训练] [例7]BC 解析 对于A选项，因为f(x)+f(2-x)=2,则 函数f(x)的图象关于点(1,1)对称，A错； 1.A 解析函数f(x)的图象关于直线x=3对称，则必有 f(3-x)=f(x+3),所以f(0)=f(6),f(1)=f(5),f(2)= 对于B选项，因为f(x)+f(2-x)=2且函数f(x)为偶 函数， f(4).又f(x)满足f(2-x)=2-f(x),取x=1,所以 f(1)=2-f(1),f(1)=1,则f(1)=f(5)=1;取x=5,则 所以f(x)+f(x-2)=2可得f(x+2)+f(x)=2,所以f(-3)=2-f(5)=1,A对.故选 A. f(x+2)=f(x-2), 2.D 解析 f(2-x)+f(x)=sin(1-x)+_+3+ 所以对任意的x∈R,f(x+4)=f(x),B对； 对于C选项，因为f(x+4)=f(x),in(x-1)+a-D+3=6, 若函数 f(x)在区间[0,1]上单调递增，则f(x)在区间 所以f(x)的图象关于点(1,3)对称，所以当x?+x?=2时， f(x?)+f(x?)=6, [2 021,2 022]上单调递增，C对； 对于 D 选项，当 x∈(2,3)时，2-x∈(-1,0), 所以 f(-2 022)+f(-2 021)+⋯+f(-1)+f(0)+ x-2∈(0,1), f(2)+f(3)+⋯+f(2 023)+f(2 024) 所以 f(x)=2-f(2-x)=2-f(x-2)= 2- =[f(0)+f(2)]+[f(-1)+f(3)]+⋯+[f(-2 022)+ [ln(x-2)+1]=1-1n(x-2),D错.故选 BC. f(2 024)]=2 023×6=12 138. 考点 [变式训练] 1.C 解析因为偶函数f(x)在区间(0,+心)上单调递减， 所以 f(x)在区间(一～,0)上单调递增，[例5](1)C 解析 因为f(x)是奇函数且在R上是增函数，所 以当x>0时，f(x)>0, 则f(lgx)>f(1)等价于|lgx|<1,即-1<lgx<1,即 从而g(x)=xf(x)是R上的偶函数，且在[0,+～]上是增 函数. lg<1g x<1g 10,解得<x<10,即原不等式的解集为 a=g(-log?5.1)=g(log,5.1), (10)·故选 C.2°?<2,又4<5.1<8,则 2<log?5.1<3,所以O<2°?< 2.ABD 解析由f(x)的对称中心为(0,0),对称轴为log?5.1<3, x=1,所以 g(2??)<g(log,5.1)<g(3),所以b<a<c. 得f(x)也关于直线x=-1对称且f(x)=f(2-x),A、D 正确；(2)B 解析 由(x?-x)[]-1,]]<0,得(x,-x,) 由A分析知，f(x)=f(2-x)=-f(-x),故 f(2+x)= 一f(x),[()fa]]<0. 高考一轮总复习·数学·RJB ·364 · 所以 f(4+x)=-f(2+x)=f(x), 所以函数 y=f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(x)的周期为4,则g(2023)=f(2 024)=f(0)= 所以 f(0)=log?a=0,解得a=1, 即 f(x)=log?(x+1),f(1)=1og,2=1.0,B正确； 但不能说明g(x)最小正周期为4,C错误.故选 ABD. 因为y=f(x+1)为偶函数，所以f(x+1)=f(-x+1), 即 y=f(x)的图象关于直线x=1对称. 又y=f(x)满足f(-x)=-f(x), 自主培优3 ∵f(x)=x-2x+1+sinx[典例 1](1)D解析 x2+1 1+=2*+t-. 面数u(x)==221为奇函数， 由于奇函数的图象关于原点对称， ∴u(x)x+u(x)mn=0, 所以f(x+1)=-f(x-1),则f(x+2)=-f(x),f(x+ 4)=-f(x+2)=f(x), 即函数y=f(x)是周期函数，周期为4,则f(2 022)+ f(2 023)=f(2)+f(3)=-f(0)-f(1)=-1. (2)B解析 由题知，设f(x)的对称中心为(a,b),则y=f(x +a)-b为奇函数. 即[f(-x+a)-b]+[f(x+a)-b]=0,即f(x+a)+ f(-x+a)-2b=0. 从而 f(x)mx+f(x)mn=a+b=[u(x)mx+1]+ [u(x)mn+1]=2,故选 D. 又f(x)=+1+2+⋯++2021=2 021 -(+1+⋯++20T), (2)C 解析 令函数g()=t+÷+tan1,则g(-1)=-t- ÷+tan(-1)=-(t+÷+tanx)=-g(), 所以函数g(t)为奇函数，其图象关于原点对称， f(a+a)=2 021-(z+a+T⋯+z+a+2o?ī)·所以. 可得f(x)=x-1++tan(x-1)+2的图象关于点 f(-x+a)=2021-(=x+a+i+⋯+=x+a+202ī)= 2021-(=x+a+2021+⋯+=zla+i)· 则 f(x+a)+f(-x+a)-2b (1,2)中心对称， 即当x?+x?=2时，可得f(x?)+f(x?)=4. 设M=f(2o22)+f(2022)+f(202)+⋯+ =4042-[a+a+]]=2,Ya+202T+⋯+ c-a+a+1cfa+2o?T]-20=0恒成立，r(202)· M=r(2022)+r(2022)+f(2022)+⋯+f(202z), 所以2M=[r(z02a)+f(2022)]+[r(z0za)+ 则a=-1011,b=2 021. 第4讲 幂函数与二次函数 [必备知识 夯实四基] r(202)]+⋯+[(2022)+r(2)] f(202)+f(202z)+=2 022×4=8 088,所 以 f(20zz)+⋯+f(2022)=4044. 知识梳理 ③-金y=x°②ax2+bx+c(a≠0) 3(m,n) ④R [ @(-?c-6 ?减 图增 四增 四减 诊断自测 [典例2](1)(-1,1) 解析 显然f(-x)=21-1+(-x)2= 2+x2=f(x),f(x)是偶函数， 当x≥0时，f(x)=2?+x2是增函数， 1.(1)×(2)√(3)√(4)× 2.D 解析 由已知，得m2-4m+5=1,解得m=2. 3.C 解析 f(x)=x2-ax+1=(x-号)+1-5,,要使函 数有负值，则共最小值f(x)m=1—宁<0,解得a<-2或 所以不等式 f(2x-1)<f(x-2)?f(|2x-1|)<f(lx- 21),即|2x-1|<|x-2|, (2x-1)2<(x-2)2,3x2-3<0,解得-1<x<1. a>2. (2)(-~,-2)u(-2,+~) 解析 由题意可知，f(x) 为偶函数，且在(一～,0)上单调递增， 4.D 解析当a=0时，函数f(x)=-x+1是实数集上的减 函数，不符合题意； 当a40时，二次面数/u)=u2-x+1的对称轴为直线4一去。 所以 f(x)在(0,+o)上单调递减.又因为f(3-la+1)> r(-得)=r(等)· 解得0之去由题意有·所以0<37m<督，,化简整理，得3-la+1l<3-+ 所以-la+1|<一立，解得a<一言或a>-号， 5.A 解析 由题意，函数 y=ax2+bx+c, 因为a+b+c=0,令x=1,可得y=a+b+c=0,即函数图象 过点(1,0). (-~,-2)U(-2,+~).故a的取值范围为| 又由a>b>c,可得a>0,c<0,所以抛物线的开口向上，可排 除 D项，[典例3](1)A 解析因为函数 y=f(x)的定义域为R,且 f(-x)=-f(x), 令x=0,可得y=c<0,可排除 B、C项.故选 A. ·365· 高考一轮总复习·数学·RJB