第2章 第2讲 函数的单调性与最大(小)值-【勤径学升】2025年高考数学一轮总复习（人教B版2019）

国高考一轮总复习·数学·RJB 考点4 分段函数（多维探究） 角度1求分段函数值 2.已知西数值或函效的取值范国求自变量的值 [例4](1)(2023·四川眉山·三模)已知函数 或范国时，应根据每一段的解析式分别求解， x2,x0, f(x)= 则f(f(-e))= 但要注意检验所求自变量的值或范围是否特 In x.x>0. 合相应段的自变量的取值范围， A.-e2 B.e C.-2 D.2 (2)(2022·山东潍坊·模拟)设函数「(x) 提醒当分段函数的自变量范围不确定时，应 x-3,x≥10， 分类讨论。 则f(8) ( f(f(x+4)),x<10, 冬变式训练 A.10 B.9 C.7 D.6 1.(2022·广东梅州·二模)设函数f(x)= 角度2解分段函数方程或不等式 log(6-x),x<1, [例5](1)(2023·江西渐昌·一摸)已知f(x)= 则f(-2)+f(og6)= 2,x≥1， x+3,x≤0， 若f(a-3)=f(a+2),则f(a)= () ,x>0. A.2 B.6 C.8 D.10 A.2 B.2 C.1 D.0 2.(2022·山东济南·二模)已知函数∫(x)= (2)(2022·浙江卷T4)已知函数f(x)= 2-1,x≤0， 若f(m)=3,则m的值为() -x2+2,x≤1. x,x>0, 则（号）)= ;若 A.5 B.2 C.9 D.2或9 当x∈[a,b门时，l≤f(x)≤3.则b-a的最大值 3.(2022·四川·石室中学模拟)已知函数f(x)= 是 log:>1 则f(.x)<f(x十1)的解集为 感悟方法 x-1,x1, 1,根据分段函数解析式求函数值，首先确定自 变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解 请完成《课时检测训练6》 析式代入求解 第2讲 函数的单调性与最大（小）值 课标采求！ 1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性，最值，理解其实际意义， 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质， 22 第二章 函数的概念与基本初等函数回 必备知识 夯实四基 对应客案P361 1.函数的单调性 诊断自测 (1)单调函数的定义 思考辨析 增函数 减函数 1.判断（在括号内打“√”或“×”） 一般地，设函数y=∫(x)的定义域为D,且 (1)对于函数y=f(x),若f(1)<f(3),则f(x) ICD 为增函数 () 如果对回 x1,g 如果对圆 工 (2)函数y=f(.x)在区间[1，十∞)上是增函数， 定义 ∈，当，<x时，都 ∈I,当x,<时，都 则函数的单调递增区间是[1，十∞). () 有四 有国 则称y=f(x)在1上 则称y=f(x)在I上 (3)函数y=的单调递减区间是(-©，0)U 是增函数 是减函数 (0,十∞). ty 2 (4)对于函数f(x),x∈D,若对任意x1,x2∈D, f.) 且x,≠x2,有(x,一x)[f(x,)-f(x)]>0,则 几 图象 函数(x)在区间D上是增函数。 () 描述 0 教材衍化 自左向右看 自左向右看 图象是上升的 图象是下降的 2.(数村政编题)设函数f(x)= 兰2在区间3，幻 (2)单调区间的定义 上的最大值和最小值分别为M,m,则M十m= 如果函数y=f(x)在区间I上是增函数或固 () ,那么就说函数y=f(x)在区间I上具有 A.4 B.6 C.10 D.24 单调性，区间I称为函数y=f(x)的单调区间. 1 3(数材政编题)函数)厂十3江-元的单调增区间 2.函数的最值 一般地，设函数f(x)的定义域为D,且x∈D: 为 如果对任意x∈D,都有f(x)回f(x。),则称 A[3+) f(x)的最大值为f(x。),而x。称为f(x)的最大 值点：如果对任意x∈D,都有f(x)回 B(1,] f(x),则称f(x)的最小值为f(x),而x称为 f(x)的最小值点.最大值和最小值统称为最值， C[4)和4，+o) 最大值点和最小值点统称为圆 D.(-,-1U(1,别 心常用结论 易错自纠 1.有关单调性的常用结论 4.(应视函数的史义城致错)函数y=f(x)为定义 在公共定义域内，增函数十增函数=增函数：减 在(-2,2)上的增函数，且f(2m)>f(一m+1), 函数十减函数=减函数：增函数一减函数=增函 则实数m的取值范围是 数：减西数一增西数=减函数。 5.(混清函数的单调区间和在来区润上单调)若函 2.画数y=f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定 数fx)=-x2-2(a+1)x+3在区间(-o∞，3] 义城内与y=一f代)g=0的单调性相反 上是增函数，则实数4的取值范围是 23盈 国高考一轮总复习·数学·RJB 提升能力 考点剖析⊙ 对应答案P361 考点 确定函数的单调性（单调区间）（师生共研） 例1](1)函数y=10g(一x+4x十12)的单调 感悟方法 递减区间是 ( 1,求函数的单调区间，应先求定义城，在定义城 A.(-∞，2) B.(2,十∞) 内求单调区间 C.(-2.2) D.(-2,6) 2.(1)函数单羽性的判断方法：①定义法；②图 (2)时论函数f)=号a≠0)在区间(-1 象法：③利用已知函数的单调性；④导数法. 1)上的单调性. (2)函效y=f(g(x)的单调性应根据外层函 数y=f(t)和内层函数1=g(x)的单调性判 断，遵猜“同增异减”的原则， 易错警示函数在两个不同的区间上单调性相 同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“U” 冬变式训练。 1.已知函数f(x)=一xx+2x,则下列结论正确 的是 () A.递增区间是(0，十∞) B.递减区间是（一∞，一1） C.递增区间是（一∞，一1） D.递增区间是(-1,1) 2.(多选)下列函数f(x)中.满足对任意x,x2∈ 1,+o,有f)-f)<0的是（) I-T A.f(x)=-2(x-1)2-2 B.f(x)=1 3 Cf)=1+号 D.f(x)=|x-4 考点2 求函数的最值（师生共研） [例2] 1)设函数fx)=2:3+1+2simx (2)对于任意实数a,b,定义min{a,b}= 3'+1 a;asb. 设函数f(x)=-x十3，g(x)=logx, (∈[-受，受])的最大值为M,最小值为N, b.a>b. 则M+N= 则函数h(x)=min(f(x),g(x)》的最大值是 24 第二章函数的概念与基本初等函数回 感悟方法 冬变式训练多 1,求函数最值的三种基本方法： 1.已知m∈R,函数f(x)= x十3 (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单 x-1一m+m在x∈ 调性求最值 [2,5]上的最大值是5，则m的取值范围是 (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最 高点、最低点，求出最值 &(0,] (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具 C.[2,5] D.[2,+o∞) 备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式 e,x≤1， 求出最值 2.已知函数f(x)= 则f(x)的 2.对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区 1-x+1x>1. 间上的极值，最后结合端点值，求出最值 最大值为 考点3 函数单调性的应用（多维探究） 角度1比较函数值的大小 角度3求参数的取值范围 [例3]设偶函数∫(x)的定义域为R,当x∈ [例5](2023·河南濂阳·一模)“b≤1”是“函数 [0,十∞)时，一f(x)是增函数，则f(一2)， bx+2,x>0, f(x),f(一3)的大小关系是 r f(.x)= 是在（一2， log(x+2)+b,-2<x≤0 A.f(x)>f(-3)>f(-2) 十∞)上的单调函数”的 B.f(π)>f(-2)>f(-3) C.f(x)<f(-3)<f(-2) A.充分不必要条件 D.f(x)<f(-2)<f(-3) B.必要不充分条件 C.充要条件 感悟方法☑ D.既不充分也不必要条件 利用函数的单调性比较大小，首先要准确判断 函数的单调性，其次应将自变量转化到同一个 感悟方法 单调区间内，然后利用单调性比较大小， 利用单调性求参数的取值（范围）的思路是：根 角度2解函数不等式 据其单调性直接构建参数满足的方程（组）（不 [例4](2022·上海虹口·二模)函数y=f(x)是 等式（组）)或先得到其图象的升降，再结合图象 定义域为R的奇函数，且对于任意的x≠x, 求解，对于分段函数，要注意衔接点的取值。 都有f)二)<1成立，如果fm)>m. 多变式训练多 则实数m的取值集合是 1.(2022·山东济南·二模)若二次函数f(x)= A.{0} B.(mm>0) ax+bx十c(a<0),满足f(1)=f(3),则下列不 C.{mm<0} D.R 等式成立的是 () 感悟方法 A.f(1)<f(4)<f(2) 求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用， B.f(4)<f(1)<f(2) 利用函数的单调性将“”符号脱去，转化为关于 C.f(4)<f(2)<f(1) 自变量的不等式求解，应注意函数的定义域， D.f(2)<f(4)<f(1) 25 国高考一轮总复习·数学·RJB 2.(2023·责州遵义·三模)若奇函数f(.x)在 3.(2022·山东·济南市巧城第二中学模拟)函数 (0,+∞)上单调递增，且f(1)=0,则满足(x》 x-2 十3在区间(1，十0)上是减函数，则 f(x)=+5 <0的x的取值范围是 实数a的取值范围是 A.(-∞，-1)U(0,1) B.(-1,0)U(2,+o) C.(-1,0)U(1,+∞) 请完成《课时检测训练7》 D.(-1,0)U(1,2) 第3讲 函数的奇偶性、周期性与对称性 课标多求！ 1.理解函数奇偶性的含义。 2.了解函数的最小正周期的含义。 3.会利用函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性解决函数性质的综合问题. 对应客案P362 必备知识 夯实四基。 知识梳理 世常用结论 1.函数的奇偶性 1.函数周期性的常用结论 奇偶性 定义 图象特点 对f(x)定义城内任一自变量的值x: 般地，设函数y= (1)若f(x十a)=-f(x),则T=2a(a>0). f(x)的定义域为D,如 (2)若f(x十a)= frr则T=2a(a>0). 1 偶函数 果对D内的任意一个 关于回 对称 x,都有一x∈D,且 (3)若f(x+a)= 1 ,则T=2a(a>0). ① ·则称 2.对称性的四个常用结论 y=f(x)为偶函数 (1)若函数y=f(x十a)是偶函数，则函数y= 一般地，设函数y= f(x)的图象关于直线x=a对称. f(x)的定义域为D,如 果对D内的任意一个 (2)若函数y=f(x十b)是奇函数，则函数y= 奇函数 关于回 对称 x,都有-x∈D,且 f(x)的图象关于点(b,0)中心对称。 ☒ ,则称 (3)若函数y=f(x)满足f(a十x)=f(b-x),则y y=f(x为奇函数 =代)的图象关于直线x=a叶中对称：特别地，当。 2 2.函数的周期性 (1)周期函数：对于函数y=f(x),如果存在一个 =b时，即f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x) 非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时， 时，则y=f八x)的图象关于直线x=a对称. 都有f(x十T)=f(x),那么就称函数y=f(x) (4)若函数y=f(x)满足f(x)十f(2a-x)=2b, 为周期函数，称T为这个函数的周期 则y=f(x)的图象关于点(a,b)对称.特别地，当 (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周 b=0时，即f(a十x)+f(a-x)=0或f(.x)+ 期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就 f(2a一x)=0时，则y=f(x)的图象关于点(a, 叫做f(x)的固 正周期. 0)对称. 26+2 [·4]和(4.+~).单调增区间为若( 此时不存在满足条件的a. y+ ÷<4.(子·1) 解析 由题意得 解得-3 m<1.所以实数m的取值范围是((3,1).0 式 5.(一～,-4) 解析 ∵f(x)=-x2-2(a+1)x+3的开口 向下， 37 3+√3 解析 由已知f(号)=-(号)+2=,(2)28 r(子)=子+号-1=,所以f(r(合))- 对称轴方程为x=—(a+1),要使f(x)在(一～,3)上是增函 数， 当x≤1时，由1≤f(x)≤3可得1≤-x2+2≤3,所以 -1≤x≤1; 只需一(a+1)≥3,即a≤—4,∴实数a的取值范围为(-, -4]. l≤x+÷-1≤3,所以1<当x>1时，由1≤f(x)≤3可得1 [提升能力 考点剖析] 考点1 x≤2+√3, [例1](1)C 解析 令y=log±u,u=-x2+4x+12.由u= 所以1≤f(x)≤3等价于-1≤x≤2+√3, 所以[a,b]≤[-1,2+√3], 所以b-a的最大值为3+√3. -x2+4x+12>0,得-2<x<6. 因为函数 y=log±u是关于u的递减函数，且x∈ (-2,2)时，u=-x2+4x+12为增函数，所以y= [变式训练] log±(-x2+4x+12)为减函数， fco=12=1 所以函数 y=log+(-x2+4x+12)的单调递减区间1.B 解析 因为 所以f(-2)= 是(-2,2). log?8=3,f(log?6)=2m-1=3, 2)解任取 zx。∈(一1.1),且x.<r.,((r)=a(x-l+1 x—1 所以 f(-2)+f(log?6)=6. =a(1+2),则rco-{51mm)=3.2.C 解析 ∵函数 f(x?)-f(x)=a(1+z)-a(1+):=-解得m=9. -a“bc÷下· 3.(-号，+~) 解析 当 x>1时，不等式 f(x)<f(x+1) 当a>0时，f(x?)-f(x?)>0,即f(x?)>f(x?),函数f(x) 在区间(-1,1)上单调递减； 可化为log?x<log?(x+1),此时不等式恒成立，所以x>1; 当a<0时，f(x?)-f(x?)<0,即f(x?)<f(x?),函数f(x) 当x≤1且x+1>1,即0<x≤1时，不等式f(x)<f(x+1) 在区间(-1,1)上单调递增. 可化为x2-1<log,(x+1),因为当0<x≤1时，-1<x2-1 [变式训练] ≤0,log?(x+1)>log?1=0,所以当0<x≤1时，x2-1< 1.D解析因为函数 f(x)=-x|x|+2x= (-x2+2x,x≥0, log?(x+1)恒成立，所以0<x≤1; 当x≤1且x+1≤1,即x≤0时，不等式 f(x)<f(x+1)可 作出函数f(x)的图象， \x2+2x,x<0, 转化为x2-1<(x+1)2-1,化简整理得2x+1>0,解得x> 如图所示： 一2,所以-÷<x≤0. ty 2 (-2,+~).综上所述，不等式 f(x)<f(x+1)的解集为 1 第2讲 函数的单调性与最大(小)值 3元do1 2 [必备知识 夯实四基] 知识梳理 任意 ②f(x?)<f(x?) ③任意 ④f(x?)>f(x?) 由图可知，递增区间是(—1,1),递减区间是(一，-1) ⑤减函数 6≤ 7≥ 8最值点 和(1,+～). 诊断自测 =)<2.AC 解析对任意x?,x?∈(1,+o),有1.(1)×(2)×(3)×(4)√ 2.C 解析 因为?a)=2(a=2)+4-2+, 0,则函数在区间(1,+～)上为减函数，所以f(x)在 对于A,f(x)=-2(x-1)2-2,由二次函数的图象与性质 可知满足题意，故 A可选；[3,4]上是减函数. 所以m=f(4)=4,M=f(3)=6.所以M+m=6+4=10. 对于B,f(x)=二，根据幂函数的性质，函数在区间(1, +～)上为增函数，故B不可选； 3.C 解析 由4+3x-x2≠0可得x≠-1且x≠4,因为y= x=音，4+3x-x2开口向下，其对称轴为 ,所以y=4+3x- (2·4)和(4.+~),所以y=a+3/-x2的减区间为 的 对于C.f(a)=1+÷,,函数在区间(1,+心)上为减函数，故 C可选； ·361· 高考一轮总复习·数学·RJB 对于D.f(x)=1x-4l={-4x≥4: 又当 x∈(0,+~)时，一f(x)单调递增，所以当x∈显然函数在区间(1, +～)上不是单调函数，故 D不可选.故选 AC. (0,+～)时，f(x)单调递减. 又π>3>2,所以f(π)<f(3)<f(2),即f(π)<f(-3) 考点 2 <f(-2). f(a)-2·3+1-1+2sn x-2- f(x?)-f(x?)[例4]C 解析 因为对于任意的x?≠x?,都有： x?-x?[例2](1)3 解析 3++2ihx, x∈[-吾·音],,所以y=2-g+·y=2sin x是增因为 函数， <1, 当x?>x?时，f(x?)-f(x?)<x?-x?,即f(x?)-x?< f(xa)一x。 当x?<x?时，f(x?)-f(x?)>x?-x?,即f(x?)-x?> f(x)—x 所以f(x)是增函数，所以当x=一吾时，f(x)取得最小值 N=3+ 即g(x)=f(x)-x在定义域R上单调递减. 又y=f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)=0, 所以g(0)=f(0)-0=0,则f(m)>m,即f(m)-m>0, 当x=吾时，f(x)取得最大值M=4- 所2M+N-4-3+m-3+-3. 即g(m)>g(0),所以m<0, 即不等式f(m)>m的解集为{m|m<0}.故选C. [例5]B 解析 依题意，函数f(x)是在(-2,+心)上的单调 函数， 由于y=log?(x+2)+b在(-2,0)上单调递增，所以(2)1 解析 法一 在同一坐标系中， f(x)在(-2,+~)上单调递增，作函数f(x),g(x)的图象，依题意，h(x)的图象为如图所示 的实线部分. 所以b>0且1+b≤2,即0<b≤1. 所以“?”是“函数 f(x)={(m+Qr+2)+b.-2<<043 是 y=h(x)A) 在(-2,+心)上的单调函数”的必要不充分条件. 0 2 x3 [变式训练] 1.B 解析 因为f(1)=f(3),所以二次函数f(x)=ax2+bx +c的对称轴为x=2. 易知点 A(2,1)为图象的最高点，因此h(x)的最大值为 h(2)=1. 法二 张期卷A()-12 又a<0,所以f(4)<f(3)<f(2).又f(1)=f(3),所以f(4) <f(1)<f(2). 当0<x≤2时，h(x)=log?x是增函数； 当x>2时，h(x)=3-x是减函数， 因此h(x)在x=2时取得最大值h(2)=1. 2.D 解析由f(x)是奇函数在(0,+～)上单调递增，且 f(1)=0可知，当x∈(-1,0)U(1,+)时，f(x)>0;当 x∈(-0,-1)U(0,1)时，f(x)<0, 又<0={-20{2>0。 [变式训练] 解得-1<x<0或y=z=3=1+241.A 解析 因为 在x∈[2,5]上单调递 1<x<2. <0故满足 的x的取值范围是-1<x<0或1<x<2.减，因此2<4=i<5. 若m≤2,则 (a)=!的最大值为5,符合题意； f(a)=二3,3.(—2,4)解析 函 数 定义域为 x∈ 若2<m≤5时，f(x)的最大值为f(2)与f(5)中较大的， (-～,a-3)U(a-3,+~), f(α)=2-4=8+3+2=1+?-4+3· 因为函数f(x)=2二±年34 由f(2)=f(5),即|5-m|+m=|2-m|+m,解得 m=子， 显然2<m≤圣时，f(x)的最大值为5,m>号：时，f(x)的最 大值不为定值. 综上可得，m<子1 在区间(1,+～)上是减函数，所以 y=-4+3只需 在区间(1,+～)上是减函数，因此 -32时，f(x)在[2,5]上的最大值是 5.故 解得-2<a≤4.选 A. 2.1 解析 x∈(一，1)时，f(x)=e单调递增，f(x)≤ 第3讲 函数的奇偶性、周期性与对称性 f(1)=e1-1=1; [必备知识 夯实四基] x∈(1,+≈)时，f(x)=÷-x+1单调递减，f(x)<十 知识梳理 f(-x)=f(x) ②y轴 3f(-x)=-f(x)④原点 ⑤最小 -1+1=1. 所以 f(x)的最大值为1. 诊断自测考点 3 [例3]C 解析因为f(x)为偶函数，所以f(-2)=f(2), 1.(1)× (2)× (3)√(4)√ f(-3)=f(3). 2.A 解析 ∵函数f(x)为偶函数， 高考一轮总复习·数学·RJB ·362·