第1章 第5讲 二次函数与一元二次方程、不等式-【勤径学升】2025年高考数学一轮总复习（人教B版2019）

第一章集合，常用逻辑用语与不等式回 感悟方法 技巧七代换消元应用基本不等式 若y=f化中f()的次数小于gr)的次数， [典例7]已知x>0,y>0,>0且x2十y十e= B() 2,则3一2的最小值为 可取倒数后求其最值。 技巧六常数代换应用基本不等式 感悟方法 [典例61已知a>0,6>0,日+名-1，若不等式 在含有两个及以上变元的最值问题中，通过代 换的方法减少变元，把问题化为两个变元的问 2a十b≥m恒成立，侧m的最大值为 题使用基本不等式，或者把问题化为一个变元 A.2+3 B.3+2 的问题使用函数方法求解， C.3+2、2 D.5 技巧八建立目标应用基本不等式 典例8]已知x>0,y>0,2xy=x十y十4，则x+ 感悟方法 y的最小值为 求形如或可化为4+ b=1型为条件的cx十dy 感悟方法 (a,b,c,d都不为0)的最值可利用“1”的代换 利用基本不等式与已知条件建立求解目标的不 求解」 等式，求出不等式的解集即得求解目标的最值， 第5讲 二次函数与一元二次方程、不等式 课标要求 1,会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方 程根的关系. 2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的现实意义， 3.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集. 必备知识 夯实四基。 「对应答案P358 知识梳理 ②|a.x+b≥c台图 1.绝对值不等式的解法 (3)x-a+|x-bl≥c(c>0)和l.x-a+|x-b (1)含绝对值的不等式|x<a与|x>a的解集 ≤c(c>0)型不等式的解法 不等式 a>0 a=0 a<0 ①利用绝对值不等式的儿何意义求解，体现了数 Ir|<a 0 0 0 形结合的思想： (-o∞，-a)U (-,0)U r>a R ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的 (a,十oo) (0,十0) 思想： (2)a.x+b≤c(c>0)和|ax+b≥c(c>0)型不 等式的解法 ③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了 ①la,x+b1≤c=☒ 函数与方程的思想 15 国高考一轮总复习·数学·JB 2.三个“二次”间的关系 思考辨析 判别式 1.判断（在括号内打“V”或”×”） △>0 4=0 4<0 4=6-4uc (1)若不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集为 二次函数 (x1x2),则必有a>0. () y-ax+br+ (2)若方程a.x十b.x十c=0(a≠0)没有实数根，则 (a>0)的图象 不等式a.x+bx十c>0的解集为R. () 一元二次方程 有两个 有两个 没有实 ar +br+c=0 粗异实根 相等实根 (3)不等式ax十bx+≤0在R上恒成立的条件 b 数根 (a>0)的根 1(不，<) 11=14= 是a<0且△=b-4ac≤0. () 2u ar +br+c>0 田 (4)若二次函数y=a.x2十b.x十c的图象开口向 5 (a>0)的解集 下，则不等式a.x+bx+c<0的解集一定不是空 ax+bx+c<0 集。 () (a>0)的解集 教材衍化 3.一般地，如果x,<x,则不等式(x一x1)(x一x) 2.(教材改编题)已知集合A={0,1,2,4},B= <0的解集是四 ,不等式(x一)(x {xx2-6.x十5<0}，则A∩B= () x)>0的解集是团 4.分式不等式及其解法 A.{0,1,2,3,4} B.(1,2,4} (1)fx) >0(<0)=☑ C.{0,1} D.(2,4 g(r) 3.(数村改编题)设m十>0，则关于x的不等式 (2)/x )≥0（≤0）台圆 (m一x)·(n十x)>0的解集是 () A.{xx<-n或x>m》 常用结论 B.(rl-n<r<m) 1.解不等式ax十h.x十c>0(<0)时，不要忘记当a C.{xx<-m或x>n =0时的情形. D.{.x一m<x<n 2.不等式a.x+hr十c>0(<0)恒成立的条件要结 易错自纠 合其对应的函数图象决定 (1)不等式a.x十hx十c>0对任意实数x恒成立 4,(意略等梦施香减立政误)不等式之≥1的解 a=b=0, a>0, △<0. 集为 (2)不等式a.x+b.x十c<0对任意实数x恒成立 5.(息视二次项系数为0政误)命题p:对任意实数 /a==0, a<0, x都有ax“十a.x+1>0恒成立.若命题p为其， c<0 1△<0. 则a取值的范围为 诊断自测 对应答案P358 提升能力 考点剖析 考点 一元二次不等式的解法（多维探究） 角度1 解不含参的一元二次不等式与绝对值 A(-1. 不等式 [例1们(1)不等式一2.x十x十3<0的解集为 B.(-2) 16 第一章集合.，常用逻辑用语与不等式回 C(-∞，-1U(2+∞】 感悟方法 D.(-s,- )ua,+) 含有参数的不等式的求解，往往需要比较（相应 方程)根的大小，对参数进行分类讨论。 （②)不等式十2<1的解集为 (1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式， (3)不等式x十1十|x-3≤6的解集为 再对参数进行讨论：若不易分解因式，则可对判 别式进行分类讨论。 角度2解含参的一元二次不等式 (2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系 例2]设m∈R,解关于x的不等式m°x十2m.x 数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的 -3<0. 情形及判别式△的正负，以便确定解集的形式： (3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小， 以便写出解集. 冬变式训练 解关于x的不等式：x2-(a+a2)x+a>0(a∈R). 考点2 三个二次之间的关系（师生共研） 例3]（多选）已知不等式a.x十bx十c<0的解集 (2)给出一元二次不等式的解集，相当于知道 为(xx<一1或x>3},则下列结论正确的是 了相应二次函数的开口方向及与x轴的变 ( 点，可以利用代入根或根与系数的关系求待 A.a<0 定系数。 B.a+b+c>0 ”变式训练 C.c>0 (多选)若不等式a.x2一hx十c>0的解集是 D.c-br十a<0的解集为z<-或>l (一1,2)，则下列选项正确的是 () A.a<0 感悟方法 B.b<0且c>0 (1)一元二次方程的根就是相应一元二次函数的 C.a+b+c>0 零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值， D.不等式ax-cx十b<0的解集是R 17 国高考一轮总复习·数学，RJB 考点3 一元二次不等式恒成立问题（多维探究） 角度1在实数集R上恒成立 冬变式训练 [例4]已知关于x的不等式m.x2+m.r+1>0恒 已知关于x的不等式2.x-1>m(x2-1). 成立，则m的取值范围为 (1)是否存在实数m,使不等式对任意x∈R恒成 角度2在给定的区间上恒成立 立，并说明理由： [例5关于x的不等式x2一a.x十a十3≥0在区间 (2)若不等式对于m∈[一2,2]恒成立，求实数x的 [一2,0]上恒成立，则实数a的取值范围是 取值范围： (3)若不等式对于x∈(1，+∞)恒成立，求m的取 角度3给定参数范围的恒成立问题 值范围。 例6]若对任意实数x∈[一1,1]，不等式m一1 >x(m十1)恒成立，则实数m的取值范围是 感悟方法 (1)对于一元二次不等式恒成立问题常见的类 型有两种，一是在全集R上恒成立，二是在某给 定区间上恒成立. (2)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁 是参数，一般地，知道谁的范国，谁就是变量，求 谁的范围，谁就是参数 ①若a.x十bx十c>0(a≠0)恒成立，则有a>0, 且△<0：若ax+h.x十c<0(a≠0)恒成立，则有 a<0,且△<0.②对第二种情况，要充分结合函 数图象利用函数的最值求解（也可采用分离参 数的方法). 请完成《课时检测训练5》 18.当且农÷(5+空+)>2(5+2√·于)-2, f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0诊断自测 一号，x=y-号： 1.(1)√(2)× (3)×(4)√时，等号成立，故选 D. 2.D 解析 由题意，得 B={x|x2-6x+5<0}={x|1<x< 5},∴A∩B={2,4},故选 D.[典例4]号 -子 解析 ①由2=2a+b≥2√2ab,得ab≤ 3.B 解析 不等式变形为(x-m)(x+n)<0,方程(x-m)(x 号，当且仅当2a=b-1,即a=号b=1时取等号； +n)=0的两根为m,—n,显然由m+n>0,得m>-n,所以 不等式的解为-n<x<m. ②a2+ab+a+b=(a+b)(a+)≤(?+bt4+)= 22+2≥1,2+2-1≥0,4.{x|x≥1或x<-2}解析 由： (《+2+)=2,当且仅当a+b=a+1,即a=去，b=1 即-≥0, 时取等号. 解得x≥1或x<-2,所以原不等式的解集为{x|x≥1或x <-2}.又由上知ab≤之，故-2,≤-4,当且仅当a=云，b=1时 取等号，所以a2+ab+a+b-26<2+(-4)=-4,当且 5.[0,4] 解析 当a=0时，对任意实数x都有ar2+ax+1 >0恒成立； 仅当a=号，b=1时取等号. 当a≠0时，y=ax2+ax+1是二次函数，此时，y>0等价于 2-lco! 0≤A<4.解得( 综上，O≤a<4.f(x)=2-2r+=[典例5]C 解析 由题意，x-2>0,而 -2)+22-2)+4=x-2+=+2> [提升能力 考点剖析] 考点 1 2√(a-2)×=-2+2=6,当且仅当x-2=-2, [例1](1)C 解析 -2x2+x+3<0可化为2x2-x-3>0,即 即 x=4 (x+1)(2x-3)>0,所以x<-1或x>言.时，等号成立，所以a=4. [典例6]C 解析由不等式2a+b≥m恒成立可知，只需 m 2≤1,可得2-2-1=(2)(-2,3) 解析由不等式： 小于等于2a+b的最小值. <0.结合分式不等式的解法，可得-2<x≤3,即不答由a>0,b>0,÷+÷=1, 式22<1的解集为(-2.3).可得2a+b=(2a+b)(÷+÷)=3+a+2≥3+ (3)[-2,4] 解析 当x<-1时，—(x+1)-(x-3)≤6,解 2√2×F=3+2√区，当且仅当台一.即a=1+誓、b= 得-2≤x<-1; 当-1≤x≤3时，(x+1)-(x-3)≤6,解得-1≤x≤3;√2+1时取等号，∴m≤3+2√2,∴m的最大值为3+2√2, 当 x>3时，(x+1)+(x-3)≤6,解得3<x≤4.故选 C. 综上，不等式的解集为[-2,4]. [典例7]2 解析 由题意，得2-x2=x2+y2≥2xy,于是 [例2]解 ①m=0时，-3<0恒成立. 3-2cx>3-(2==2=g++>2√·T=2, 当且仅当≥ ②m>0时，不等式可化为(mx+3)(mx-1)<0,即 (x+盖)(x-m)<0, 而-第<品， {x|-2<x<#},此时不等式的解集为 =1.x=y=竖时，3一2x”有最小值，最小值为2. [典例8]4 解析 由题知x>0,y>0,由基本不等式，得xy≤ (),即x+y+4<2×(). ③当m<0时，不等式可化为(mx+3)(mx-1)<0,即 (x+2)(x-)<0, 而一品>方， {=|}<x<-m},此时不等式的解集为 综上，当m=0时，不等式解集为R; 令t=x+y,t>0,则有t+4≤2×(立) ,整理得 t2-2t-8 ≥0,解得t≤-2(舍去)或 t≥4, 即x+y≥4,当且仅当x=y=2时等号成立，所以x+y的 最小值为4. (-2.m):当m>0时，不等式解集为第5讲 二次函数与一元二次方程、不等式 [必备知识 夯实四基] (责·-盖).当m<0时，不等式解集为知识梳理 [变式训练](-a,a) ②-c≤ax+b≤c 3ax+b≥c或ax+b≤-c @{|x≠-}GR④{x|x>x?或x<x?}[ 解 将不等式x2-(a+a2)x+a3>0变形为(x-a)(x-a2) >0. 7{x|x?<x<x?} 80 90 M(x?,x?) (一~,x?)U(x?,+~) f(x)·g(x)>0(<0) 当a<0时，a<a2,∴原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}; 当a=0时，a=a2=0,∴原不等式的解集为{x|x≠0}; 高考一轮总复习·数学·RJB ·358· 当0<a<1时，a>a2,∴原不等式的解集为{x|x<a2或 x>a}; 故(m+1)x—(m2-1)<0对任意实数x∈[-1,1]恒 成立， (-.故只 需 满足 解得 m<当a=1时，a=a2=1,∴原不等式的解集为{x|x≠1};当a>1时，a<a2,∴原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}. 综上所述，当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|x<a或x >a2}; -1或 m>2, 所以实数m的取值范围是(-心，-1)U(2,+). [变式训练]当a=0时，原不等式的解集为{x|x≠0}; 当0<a<1时，原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}; 当a=1时，原不等式的解集为{x|x≠1}. 解 (1)原不等式等价于mx2-2x+(1-m)<0, 当m=0时，-2x+1<0不恒成立； 考点2 当m≠0时，若不等式对于任意实数x恒成立，则需m<0且 [例3]ABC 解析 根据二次函数开口与二次不等式之间的关 △=4-4m(1-m)<0,无解， 所以不存在实数m,使不等式恒成立.系可知a<0,A正确； ax2+bx+c=0的根为-1,3,则 (2)设f(m)=(x2-1)m-(2x-1), 当m∈[-2,2]时，f(m)<0恒成立. -1×3=一， -1。当且仅当 由①,得1?<x<+F x<=1=或x>=1T.由②,得 ∴a+b+c=-4a>0,B正确； c=-3a>0,C正确； cx2-bx+a<0,即-3ax2+2ax+a<0,则3x2-2x-1< 0,解得-÷<x<1, 取交集，得=!±T<x<中 (|-÷<x<1}∴cx3-bx+a<0的解集为 ,D错误.故 选 ABC. [变式训练] {=|=1+?<x<5).所以x的取值范围是 m<二(3)因为x>1,所以 AB解析由题意，不等式 ax2-bx+c>0的解集 设2x-1=1t>1),x2-1=E+2(-3, 4t所以 m<2+2t—?是(-1,2), 可得一1,2 是方程 ax2-bx+c=0的两个根，所以 J-1+2=2. 且a<0,所以A 正确： l-1×2==. 设g()=t-3+2,∈(1,+～),显然g(1)在(1,+)上为增 函数. 当1 又由b=a,c=-2a,所以b<0,c>0,所以B正确； 当x=-1时，此时a+b+c=0,所以C不正确； 号物把b=a,c=-2a代入不等式ax2-cx+b<0,可得ax2+2ax+a<0. 第二章 函数的概念与基本初等函数因为a<0,所以x2+2x+1>0,即(x+1)2>0,此时不等式的 解集为{x|x≠-1},所以D不正确。 第1讲 函数的概念及其表示 考点3 [必备知识 夯实四基] [例4](0,4)解析当m=0时，不等式1>0恒成立，所以 m=0符合题意； 知识梳理 每一个实数x ②唯一 3相同 ④相同 ⑤解析法 @并集当m≠0时，若关于x的不等式mx2+mx+1>0恒成立， 4-M/-<o.则{ 诊断自测1.(1)× (2)× (3)×(4)× 解得0<m<4,综上所述m的取值范围为(0,4). 2.B 解析 A中，f(x)的定义域为{x|x≠-1},g(x)的定义 域为R,故 A错误；[105]a≥-2 解析 由题得a>2=2=(x-1)+?A+2, B中，g(x)=√4x2=2|x|=f(x),B正确； 因为-2≤x≤0,所以-3≤x-1≤-1,所以(x-1)+4 C中，f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为[0,+],故C错 误；+2=-[(1-x)+1--J+2<-2√T+2=-2. D中，y=√x+1√x-1的定义域为(1,+～),由x2-1≥0 可得y=√Z2-1的定义域为(-~,-1)U[1,+～),D 错误. 当且仅当x=—1时得到等号.所以a≥-2. [例6](-心，-1)U(2,+心)解析因为对任意实数x∈ [-1,1],不等式m2-1>x(m+1)恒成立， ·359· 高考一轮总复习·数学·RJB