第1章 第4讲 基本不等式-【勤径学升】2025年高考数学一轮总复习（人教B版2019）

第一章 集合,常用逻辑用语与不等式 问 必变式训练心 2.(多选)(2023·广东·华南师大附中三模)如果 1.(2022·北家海淀·二模)已知x.yR,且十 a$b0,c d 0,那么下面一定成立的是 y>0,则 C ) , - A.a+d<b+c B.+y>0 B.ac>bd A. - C.ac>bc* D.# C.1g(x+y)>0 D.sin(x十y)>0 考点3 不等式性质的综合应用(师生共研) [例3](1)若1<a<3,-4<<2,则a-ll的取 变量的取值范围,解决的途径是先建立所求范 值范围是 围的整体与已知范围的整体的等量关系,最后 通过“一次性”不等关系的运算求解范围。 则的最大值是 必变式训练心 1.已知1<2x- 2,-1<2+3 1,则6+5y 悟方法 的取值范围为 2.设a(0,)ge[o,],那么2a-的取值范 利用不等式性质可以求某些代数式的取值范 围,但应注意两点: 围是 一是必须严格运用不等式的性质; 请完成《课时检测训练3 ,。 二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了 第4讲 基本不等式 课标要求 1.了解基本不等式的证明过程. 2.能用基本不等式解决简单的最值问题 3. 掌握基本不等式在生活实际中的应用 必备知识 夯实四基 [对答案P356] 数,③ 知识梳理 叫做正数,的儿何平均数 2.两个重要的不等式 ()a+三④ (a,bER),当且仅当a-时$ (1)基本不等式成立的条件:a>0,b0. 取等号. (2)等号成立的条件:当且仅当 时取 等号: 等号. (3)其中② 叫做正数a,b的算术平均 . 高考一轮总复习·数学·RJB 是4. 3.利用基本不等式求最值 (1)已知x,y都是正数,如果积xy等于定值P. (4)“x>0且y>0”是“十→2”的充要条件. 那么当x一y时,和x十y有最小值 xy (2)已知x,y都是正数,如果和x十y等于定值 ) 教材衍化 S.那么当x一y时,积xy有最大值 2.(教材改编题)已知a>0,b>0且2a+5b-10,则 常用结论 ab的最大值为 ) A.2 B.5 #.b({)## 3.(教材改编题)设计用32m的材料制造某种长 3.应用基本不等式求最值要注意:“一正,二定,三 方体形状的无盖车厢,按交通部门的规定车厢宽 度为2m,则车厢的最大容积是 ( ) 相等”,忽略某个条件,就会出错 A.(38-373)m 4.在利用不等式求最值时,一定要尽量避免多次使 B. 16m C.4v2m 用基本不等式,若必须多次使用,则一定要保证 D. 14m{} 它们等号成立的条件一致. 易错自纠 诊断自测 4.(&视基本不等式的应用条件致误)下列函数,最 小值为2的函数是 ) [思考辨析 A.y=x1 By--2r+2 1.判断(在括号内打“”或“×”) 。 10 D.- C.y=x+2/+3 2十2 +1 件是相同的 5.(不能晃活配凑致误)函数y=x(3一2x)的最大 (2)函数y-x+1的最小值是2. 值为 ( ) B. C. . A.3 考点剖析 提升能力 [对答案P356] 考点# 利用基本不等式求最值(多维探究) 角度1 配凑法 角度2 常数代换法 [例2](2022·天津红桥·一模)设a0,b1,若 值为 ) ## A.6 B.9 C.32 D. 18 为 角度3 消元法 2-1 大值是 1 12 第一章 集合、常用逻辑用语与不等式 问 感悟方法 必变式训练 1.(2023·四川德阳·三模)已知直线ax十by十 (1)利用配凑法求最值,主要是配凑成“和为常 数”或“积为常数”的形式 c-1-0(b,c0)经过圆x*+(y-1)-6的圆 ( (2)常数代换法,主要解决形如”已知x十v一1(!为 ) A.2 B.8 ) C.4 D.9 & 2.(2022·浙江络兴·高三期末)已知x0.v0. (3)当所求最值的代数式中的变量比较多时,通 满足x+2xy-2-0,则2x十y的最小值是 ( 赏考虑利用已知条件消去部分变量后,凑出“和 ) #))# 为常数”或“积为常数”的形式,最后利用基本不 B.6 等式求最值. (4)构建目标式的不等式求最值,在既含有和式 D.3 又含有积式的等式中,对和式或积式利用基本 不等式,构造目标式的不等式求解 -1 考点 利用基本不等式求参数的取值范围(师生共研) [例4 必变式训练心 。 成立,则n的最大值是 _ :y 成立,则实数n的取值范围是 A.2 B.3 ) C.4 D.5 A.(-2,4) B.(-。o.-2)U(4.+。o) 感悟方法 C.(-.-4)U(2,+) 求参数的值或范围时,要观察题目的特点,利用 D.(-4,2) 2.(2023·山西晋中·二模)若对任意x0.十 基本不等式确定等号成立的条件,从而得到参 5x十4xar}恒成立,则实数a的取值范围是 数的值或范围. 考点3 基本不等式的实际应用(师生共研 [例5] 某供应商为A公司提供芯片,由以往的经 (2)为使日盈利额最大,日产量应为多少万枚? 验表明,不考虑其他因素,该芯片次品率》与日 产量x(万枚)间的关系为:)一 已知每生产1枚合格芯片供应商可盈利30元. 每出现1件次品则亏损15元. (1)将日盈利额y(万元)表示为日产量x(万枚) 的函数; 2 . 高考一轮总复习·数学·RJB 感悟方法 东西的人行通道宽4m,如图所示(图中单位;m) (1)根据实际问题抽象出函数的解析式,再利用 问如何设计停车场的边长,才能使人行通道占地面 积最小?最小面积是多少? 基本不等式求得&数的最值 (2)解应用题时,一定要注意变量的实际意义及 其取值范围. 心变式训练心 某居民小区欲在一块空地上 建一面积为1200m的矩形 停车场,停车场的四周留有 停布场 人行通道,设计要求停车场 请完成《课时检测训练4 。2 外侧南北的人行通道宽3m. 自主培优2 应用基本不等式的/八种变形技巧 >对答案P357 基本不等式的一个主要功能就是求两个正 感悟方法 变量和与积的最值,即所谓“和定积最大,积定和 一般地,含有根式的最值问题,首先考虑平方后 最小”,但有的题目需要利用基本不等式的变形 求最值, 式求最值,有的需要对待求式作适当变形后才可 技巧三 展开后应用基本不等式 求最值. 技巧一 加减配凑定值 - 1 7 C D21 ) A.4 B.6 感悟方法 C.25+2 D.2/5-2 对于求多项式积的形式的最值,可以考虑展开 感悟方法* 后求其最值. 对于因不能出现“定值”而不能使用基本不等式 技巧四 和与积的相互转换 的情况,可以通过加,减(乘以)一个数后使和或 [典例4](2022·渐江舍州·二樊)已知正实数a,b 积为定值。 满足2a十b-2,则ab的最大值为 :十 技巧二 平方后应用基本不等式 [典例2]若x→0.y>0.且2x+ 一8,求 感悟方法 rv6十2y的最大值. 对已知条件含ab,a十b型等式的最值问题,可 以通过使用基本不等式转化为只含ab(或a十 )的不等式. 技巧五 拆分应用基本不等式 2-2 a处取最小值,则a一 ( ) A.1+5 C.4 B.2 D.6 2 14 第一章 集合、常用逻辑用语与不等式 感悟方法 技巧七 代换消元应用基本不等式 [典例7]已知x0,y0,0且+十 2.则3-2-y的最小值为 可取倒数后求其最值. ①感悟方法> 技巧六 常数代换应用基本不等式 在含有两个及以上变元的最值问题中,通过代 [典例6 换的方法减少变元,把问题化为两个变元的问 2a十b二m恒成立,则m的最大值为 ( ) 题使用基本不等式,或者把问题化为一个变元 A.2十③ B.3+/2 的问题使用函数方法求解 D.5 C.3+22 技巧八 建立目标应用基本不等式 感悟方法 [典例8]已知x0,y>0,2xy=x+y+4,则x十 y的最小值为 感悟方法 (a,b,c,d都不为0)的最值可利用“1”的代换 利用基本不等式与已知条件建立求解目标的不 求解。 等式,求出不等式的解集即得求解目标的最值, 第5讲 二次函数与一元二次方程、不等式 1.会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数,了解函数的零点与方 程根的关系. 2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式,了解一元二次不等式的现实意义 3.能借助一元二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集. 夯实四基 必备知识 [征答案P358 知识梳理 ②lar十b>③ 1.绝对值不等式的解法 (3)lx-al十lx-blc(c>0)和x-al+|x-b (1)含绝对值的不等式x<a与x>a的解集 <c(>0)型不等式的解法 不等式 > =0 ~0 ①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数 lrl二 1 2 2 形结合的思想 (--)U (一,0)U lr B ②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的 (,十) (0) 思想; (2)ax+bc(c>0)和lax十bc(c0)型不 等式的解法 ③通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了 ①ax十引<c② 。 函数与方程的思想 2 1考点3 [提升能力考点剖析 [例3](1)(-3,3) 解析 由-4<β<2,得O≤|β|<4,即-4 考点 1 <-|β|≤0. [181(1) 4r+5-4.x(5-解析√x(5-4r) 2又1<a<3,所以-3<a-|β|<3. 4 =音，5=(5)5∵s<F<4∴2r<(子)≤(2)32 解析 x=意64.∵2≤ay≤3∴÷≤≤2, 当且仅当4x=5-4x,即 时等号成立. (2)-音 a<老，9≤(子)5<32.由不等式的性质，得 解析 ,则2x-3<0,3-2x>0, y=x+z?3 即 的最大值为32,当且仅当-即 时取到.号 =÷(2x-3)+2?-3+2=-[÷(3-2:)+3=z]+ <-2√=(3-2x)·3=2x+--喜，[变式训练] 1.[-1,4] 解析 6x+5y=2x-y+2(2x+3y),即1+2× 32=-32,即x=-!当且仅当： 时等号成立. f(x)=x2-x+4=(x-)3+(x-1)+4_ (-1)≤2x-y+2(2x+3y)≤2+2×1, 故6x+5y的取值范围为[—1,4]. (3)5解 析 解析 因为α∈(0.号),β∈[0.晋].2.(一昏，π) ,所以 2a∈ (x-1)+-=+1.(0,π),-号∈[一吾，0], 所以2a-号∈(一音，π). ∵x>1,∴x-1>0, ∴(x-1)+z-T≥2√(a-1)·-=4(当且仅当x-1-第4讲 基本不等式 ,即 x=3 时取等号). ∴f(x)=4+1=5. [必备知识 夯实四基] 知识梳理 a=b 2? [例2]B 解析 ∵a>0,b>1,且a+b=2,3√ab 42ab 52√P @- -S24 ∴b-1>0且a+(b-1)=1, 诊断自测 ∴÷+6==(+=)Ca+(b-D)=5+46=P+ s-T≥5+2√46=)·∴=9, 4(6=)=,即a=且b=章当且仅当- -时取等号， 故意+万二! 1.(1)×(2)×(3)× (4)× 2.D 解析 因为2a+50=10≥2 √2a·55,所以db<言，当 且仅当a=号.b=1时，等号成立. 音所以ab的最大值为- 的最小值为 9.故选 B. 3.B 解析 设长方体车厢的长为xm,高为hm,则2x+2× [1例3]÷-√2 解析 因为x<0,且x-y=1,所以x=y+1,2h+2xh=32,即x+2h+xh=16, ∴16=x+2h+xh≥2√2xh+xh,即xh+2√2xh-16≤0, 喜y<-1,所以解得0<√xh≤2√2,∴0<xh≤8. ∴车厢的容积为V=2xh≤16(m).当且仅当x=2h且x+ 2h+xh=16,即x=4,h=2时等号成立.∴车厢容积的最大 值为16 m2.选 B. v+*喜-去.因为 y+≥<0,所以 -(0号)-. 4.D 解析 对于A,y可取负数，故A错误； 对于 B,y=(x-1)2+1≥1,故B错误； 当且仅当 y= -I+T: 对于C,y=(√x+1)2+2≥3,故C错误； 对于D.y---√?+T+√>2, 等号成立当且仅当x=0时，故D正确.故选 D. x+zv+i≤÷-√2,所以 x+时等号成立，所以 ÷-√2.2y+的最大值为5.D 解析 y=x(3-2x)<号·(2x+2-)=章. 当且仅 当2x=3-2x,即x=号：时等号成立. [变式训练] 1.D 解析 圆x2+(y-1)2=6的圆心为(0,1),∵直线ax+ 高考一轮总复习·数学·RJB ·356· by+c-1=0(b,c>0)经过圆x2+(y-1)2=6的圆心，∴b 2+5+4=x+÷+5≥2√·+5=9,因为x>0,所以 当且仅当x=号. +c=1, ∴方+÷=(b+c)(+÷) -5++ξ≥5+2√2×晋=9, 当且仅当- 时取等号， ∴方+÷! ,即 x=2时取等号.故实数a的取值范围 是(一～,9). 考点 3 ,y=5x×30-3x×15=0;[例5]解 (1)当x>4时， 当0<x≤4时，p=6,所以y=(1-6-)×x×30- s÷×x×15=150=2x2. o<r≤a所以 的最小值是9,故选 D. y=2z,2.B 解析 由x2+2xy-2=0,可得， 2zx>0.由x>0,y>0,可得： 且x>0,解得O<x<√2, 则2x+y=2x+22,2=32+2=÷(3x+≥)≥÷:× 2√3x·2=√G, (2)由(1)知，当x>4时，日盈利为0元， 当 0<x≤4时， y=15(6-22=15×[15-2(6-x)-51=-]≤15× (15-2√2(6-x)×61)=45, 当且仅当2×(6-x)=6, 当且仅当3x=2.甲x=雪时，等号成立， 所以 2x+y的最小值为√6. ,即 x=3时取等号， 所以为使日盈利最大，日产量应为3万枚.3.3 解析 由题意，y=二二 -C-2x+P±“-D+ =(x-)2+(q-1)+1=x-1+,=+1, [变式训练] 解 设矩形停车场南北侧边长为xm(x>0),则其东西侧边 长为1200 m· 人行通道占地面积为 y=x-1+2=+1≥2√(a-1)·+因为x>1,所以 S=(x+6)(-200+8)-1 200=8x+2200+48m2, 由均值不等式，得 S=8x+720?+48≥2√8x·2200+48=2 ×240+48=528 m2, 当且仅当8x=7200, 1=3.当且仅当x-1=二，即x=2时等号成立.所以西数 y=的最小值为 3. 考点 2 120(,即x=30m时，S=528m2,此时. x =40 m.-+≥ (a-6+6)(a-等价于([例4]C 解析 c)≥n2, 所以设计矩形停车场南北侧边长为30m,则其东西侧边长为 40 m,人行通道占地面积最小，最小为528m2.(a-?+s一)(a-c)=(a-6+一)(a-b+b-c) =1+6-5+10(==>1+2√1·6=5·g==11+ 自主培优 2 [典例1]B 解析 因为x>2, 所以y=x+?-2=(x-2)+?-2+2≥2√10,当且仅当0二5-5二，,即a+c=2b时，等号成立. 故得到11+2√10≥n2,n∈N,则n的最大值是4. 2√(x-2)·z-2+2=6. [变式训练] 当且仅当x-2=-一2,即x=4时取“=”1.A 解析不等式x+2y>m2-2m恒成立，即m2-2m <(x+2y)mn, [典例2]解(x√6+2y2)2=x2(6+2y2) x+2y=(a+2y(2+÷)=4+5+≥4+2√· (+号)=·2|=×(号):=3·2x2·=8, 于=4, 2+÷=1联,即 x=2y,与条件等号成立的条件是- 当且仅当2x=1+号，即x=音，y=时，等号成立.故 x√6+2y的最大值为是/层. 立，解得x=4,y=2, 所以x+2y的最小值是8,即m2-2m<8,解得-2<m<4. 2.(一～,9) 解析 因为对任意x>0,x3+5x2+4x≥ax2? [典例3]D 解析 因为正实数x,y满足x+2y=2, +5x+4>a恒成立，所以只需满足a≤(+5x+4) ÷+3=÷(÷+号)(a+2y)=所以 ·357 · 高考一轮总复习·数学·RJB .当且农÷(5+空+)>2(5+2√·于)-2, f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0诊断自测 一号，x=y-号： 1.(1)√(2)× (3)×(4)√时，等号成立，故选 D. 2.D 解析 由题意，得 B={x|x2-6x+5<0}={x|1<x< 5},∴A∩B={2,4},故选 D.[典例4]号 -子 解析 ①由2=2a+b≥2√2ab,得ab≤ 3.B 解析 不等式变形为(x-m)(x+n)<0,方程(x-m)(x 号，当且仅当2a=b-1,即a=号b=1时取等号； +n)=0的两根为m,—n,显然由m+n>0,得m>-n,所以 不等式的解为-n<x<m. ②a2+ab+a+b=(a+b)(a+)≤(?+bt4+)= 22+2≥1,2+2-1≥0,4.{x|x≥1或x<-2}解析 由： (《+2+)=2,当且仅当a+b=a+1,即a=去，b=1 即-≥0, 时取等号. 解得x≥1或x<-2,所以原不等式的解集为{x|x≥1或x <-2}.又由上知ab≤之，故-2,≤-4,当且仅当a=云，b=1时 取等号，所以a2+ab+a+b-26<2+(-4)=-4,当且 5.[0,4] 解析 当a=0时，对任意实数x都有ar2+ax+1 >0恒成立； 仅当a=号，b=1时取等号. 当a≠0时，y=ax2+ax+1是二次函数，此时，y>0等价于 2-lco! 0≤A<4.解得( 综上，O≤a<4.f(x)=2-2r+=[典例5]C 解析 由题意，x-2>0,而 -2)+22-2)+4=x-2+=+2> [提升能力 考点剖析] 考点 1 2√(a-2)×=-2+2=6,当且仅当x-2=-2, [例1](1)C 解析 -2x2+x+3<0可化为2x2-x-3>0,即 即 x=4 (x+1)(2x-3)>0,所以x<-1或x>言.时，等号成立，所以a=4. [典例6]C 解析由不等式2a+b≥m恒成立可知，只需 m 2≤1,可得2-2-1=(2)(-2,3) 解析由不等式： 小于等于2a+b的最小值. <0.结合分式不等式的解法，可得-2<x≤3,即不答由a>0,b>0,÷+÷=1, 式22<1的解集为(-2.3).可得2a+b=(2a+b)(÷+÷)=3+a+2≥3+ (3)[-2,4] 解析 当x<-1时，—(x+1)-(x-3)≤6,解 2√2×F=3+2√区，当且仅当台一.即a=1+誓、b= 得-2≤x<-1; 当-1≤x≤3时，(x+1)-(x-3)≤6,解得-1≤x≤3;√2+1时取等号，∴m≤3+2√2,∴m的最大值为3+2√2, 当 x>3时，(x+1)+(x-3)≤6,解得3<x≤4.故选 C. 综上，不等式的解集为[-2,4]. [典例7]2 解析 由题意，得2-x2=x2+y2≥2xy,于是 [例2]解 ①m=0时，-3<0恒成立. 3-2cx>3-(2==2=g++>2√·T=2, 当且仅当≥ ②m>0时，不等式可化为(mx+3)(mx-1)<0,即 (x+盖)(x-m)<0, 而-第<品， {x|-2<x<#},此时不等式的解集为 =1.x=y=竖时，3一2x”有最小值，最小值为2. [典例8]4 解析 由题知x>0,y>0,由基本不等式，得xy≤ (),即x+y+4<2×(). ③当m<0时，不等式可化为(mx+3)(mx-1)<0,即 (x+2)(x-)<0, 而一品>方， {=|}<x<-m},此时不等式的解集为 综上，当m=0时，不等式解集为R; 令t=x+y,t>0,则有t+4≤2×(立) ,整理得 t2-2t-8 ≥0,解得t≤-2(舍去)或 t≥4, 即x+y≥4,当且仅当x=y=2时等号成立，所以x+y的 最小值为4. (-2.m):当m>0时，不等式解集为第5讲 二次函数与一元二次方程、不等式 [必备知识 夯实四基] (责·-盖).当m<0时，不等式解集为知识梳理 [变式训练](-a,a) ②-c≤ax+b≤c 3ax+b≥c或ax+b≤-c @{|x≠-}GR④{x|x>x?或x<x?}[ 解 将不等式x2-(a+a2)x+a3>0变形为(x-a)(x-a2) >0. 7{x|x?<x<x?} 80 90 M(x?,x?) (一~,x?)U(x?,+~) f(x)·g(x)>0(<0) 当a<0时，a<a2,∴原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}; 当a=0时，a=a2=0,∴原不等式的解集为{x|x≠0}; 高考一轮总复习·数学·RJB ·358·