第1章 第3讲 不等关系与不等式性质-【勤径学升】2025年高考数学一轮总复习（人教B版2019）

第一章集合.，常用逻辑用语与不等式回 感悟方法 [-2,十∞)，使得f(x)>g(x),则实数a的 取值范围是 () 理解量词的含义，将原不等式转化为f(x)≤ g(x)mx:利用函数的单调性，求f(x)与g(x)的 A(3+)】 B.(0,+o∞) 最大值，得到关于a的不等式，从而求得a的取 c.(o.) D.(3 值范国、 类型四形如“存在x,∈A,对任意x∈B,都 感悟方法2 有f(x1)<g(x:)成立” 解决本题的关键是对条件的理解及转化，将条 [典例4]已知函数f(x)=x2-2x,g(x)=ax十2 件转化为g(x)<f(x)mm,然后求解参数的范 (a>0),若对任意x1∈R,都存在实数x2∈ 固。 第3讲 不等关系与不等式性质 课标多求 1.理解用作差法比较两个实数大小的理论依据。 2.理解不等式的概念 3.理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用. 必备知识 夯实四基。 [对应答案P355] 知识梳理 ③同向不等式相乘：a>b>0,c>d>0→☑ 1.两个实数比较大小的方法 ④可乘方性：a>b>0→圆 (n∈N,n>1): a-b>0Ha☐b, ⑤可开方性：a>b>0→√a>√b. (1)作差法a一b=0台a☑b, a-b<0台a图b. 常用结论 (2)证明不等式还常用综合法、反证法和分析法 1.证明不等式的常用方法有：作差法、作商法、综合 2.不等式的性质 法、分析法、反证法、放缩法。 (1)不等式的性质 2.有关分式的性质 ①可加性：a>b台a十c国b十c: 1)若4>b>0.m>0,则白<生m,名>-m da+m'aa一m ②可乘性：a>b,c>0→ac>bc: (b-m>0). a>h,c<0→ac<bc; (2)若ab>0,且a>=1<1 ③传递性：a>b,b>→固 a b ④对称性：a>b一b<a. 诊断自测】 (2)不等式的推论 思考辨析 ①移项法则：a+b>台a>c一b: 1.判断（在括号内打“√”或“×”） ②同向不等式相加：a>b,c>d→固 (1)a>b=ae2>bc2. 9图 国高考一轮总复习·数学·RJB (2)a=b台ac=bc. 3.(教材改编题)已知2<a<3,一2<b<一1，则 (3)若分>1，则>6 2a一b的取值范围为 () A.(0,2)B.(2,5) C.(5,8) D.(6,7) (4)0<a<x<b或a<x<b<0→ 111 易错自纠 4(之银装的取位地围政议)若x∈R,则a=号与 教材衍化 6=- 2.(敦材改编题)已知a>b>0,c<d<0,则下列结 。的大小关系为 1+x 论一定成立的是 5.(求取值范田考虎不周致误)已知实数x,y满足 A.a+e>b+d B.a-c>b-d 1<x<y<3,则y一x的取值范围是 C.acbd D.ad>cd 提升能力 考点剖析⊙ [对应答案P355] 考点 比较代数式的大小（师生共研） [例1们(1)已知a<0,b<0,比较大小：a (2)作商法：①作商：②变形：③判断商与1的大 b 小关系；①结论 a+b. 冬变式训练 (2)已知2=6=10，则ab a+h.(填 22w+1 “>“<”或“=”) 1.20+1 2十.（用不等号“<“或 2281+1 感悟方法 “>”填空) 判断两数（式）大小的方法 2.P=a+a+1,Q= a-a+ia∈R),则P,Q的 (1)作差法：①作差：②变形：③定号：①结论， 大小关系为 考点2 不等式的性质及应用（师生共研） T例2] ①（多选）已知。<名<0，则下列不等关 感悟方法 系中正确的是 r 解决此类題目常用的三种方法： A.aba-b B.ab<-a-b (1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等 c+8>2 式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前 提条件： (2)(多选)(2022·广东汕头·二摸)已知a,b,c (2)利用特殊值法排除错误答案： 满足c<a<b,且ac<0,那么下列各式中一定 (3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性 成立的是 ( 质不能比较大小时，可以利用指数、对数、暴函 A.ac(a-c)>0 B.c(b-a)<0 数等函数的单调性进行判断. C.cb<ab D.abac 10 第一章集合，常用逻辑用语与不等式回 乡变式训练多 2.(多选)(2023·广东·华南师大附中三模)如果 1.(2022·北京海淀·二模)已知x,y∈R,且x十 a<b<0,c<d<0,那么下面一定成立的是 y>0,则 ( B.x2+y2>0 A.a+d<b+c B.ac>bd C.ac>be D. C.Ig(z+y)>0 D.sin(r+y)>0 aa 考点3 不等式性质的综合应用（师生共研） [例3](1)若1<a<3,-4<3<2,则a-的取 变量的取值范围，解决的途径是先建立所求范 值范围是 国的整体与已知范国的整体的等量关系，最后 (2)设xy为实数，满足2≤y≤3,3≤≤4， 通过“一次性”不等关系的运算求解范围 y ◆变式训练》 则的最大值是 1.已知1≤2x-y≤2，-1≤2x+3y≤1，则6.x+5y 感悟方法2 的取值范围为 利用不等式性质可以求某些代数式的取值范 2.设ae(0,)c[0,受]，那么2a-号的取值范 围，但应注意两点： 围是 一是必须严格运用不等式的性质： 二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了 请完成《课时检测训练3》 第4讲 基本不等式 课标来求！ 1.了解基本不等式的证明过程， 2.能用基本不等式解决简单的最值问题。 3.掌握基本不等式在生活实际中的应用 必备知识 夯实四基。 [对应答案P356] 知识梳理 数，回 叫做正数a,b的儿何平均数. 2.两个重要的不等式 1基本不等式：V6<生 (1)a+b≥④(a,b∈R),当且仅当a=b时 (1)基本不等式成立的条件：a>0,b>0. 取等号。 (2)等号成立的条件：当且仅当回 时取 (2)ab≤（ 2/ (a,b∈R),当且仅当a=b时取 等号. 等号 (3)其中网 叫做正数a,b的算术平均 11!集，所以 解得a≤-4.综上，a≥4或a≤-4, 故选C “x?-÷+(2)<解析由题得a=log,10,b=log。10,所以 方=1g2+lg6=1g 12>1, 所以a+b>ab.[典例2][-5,0] 解析 函数 f(x)=1og,x在[2:2]上1单调 [.2]上单 [变式训练] 递增，值域为[-1,1],函数g(x)=2x+a在 :2十2书1.> 解析xx:∈[2.2].调递增，值域为[1+a,4+a],由存在： ,使得 f(x?)=g(x?),可知两个函数的值域有交集，即[1+a, (2201?+1)(220&1+1)-(22020+1)2 (22020+1)(220*1+1) 2⋯+2~-2×24+a]∩[-1,1]≠0,则有1+a≤-1≤4+a或1+a≤1≤ 4+a,即-5≤a≤-2或-3≤a≤0,解得-5≤a≤0. [典例3(去，+c) (2202?)(22021+1) -2042-4m>02解析 依题意知f(x)⋯≤g(x)⋯.因 为f(x)=x+号在[[·].上单调递减，所以 f(x)⋯= P=a2+a+1=(a+÷)+2>0,a2-2.P≥Q 解析 因为1 a+1=(a-≥)+=>0,则Q>0.r(去)=2. 又g(x)=2*+a在[2,3]上单调递增，所以g(x)m=8+a, 2<8+a,则a≥号.因此： =(a2+a+1)(a2-a+1)=(a2+1)?-a2=a1+a1+由 1≥1,所以 P≥Q. [典例4]A 解析 因为函数 f(x)=x2-2x的图象是开口向 上的抛物线，且关于直线x=1对称，所以f(x)的最小值为 考点 2 [例2](1)CD 解析 对于 A,由d<÷<0,得b<a<0,当a=f(1)=-1,无最大值，可得 f(x)值域为(-1,+).又 g(x)=ax+2(a>0)为单调递增函数，所以g(x)的值域为 一÷,b=-2时，A错误；[g(-2),+～],即g(x)∈(2-2a,+～).因为对于任意x? ∈R,都存在实数x?∈[-2,+～],使得f(x?)>g(x?),所 以只需f(x)的值域是g(x)值域的真子集即可，所以2-2a 对于 B,当a=-2,b=-3时，B错误； A<≠<0,得b<a<0,根据基本不等式知，C对于 C,由- 正确；<-1,解得a>音，,故选 A 第3讲 不等关系与不等式性质 对于D,由÷<≠<0, a-,得b<a<0,所以b2>a2.因为-[必备知识 夯实四基] 知识梳理 S-6a2>0,所以D正确.>2= 3< 4> 5a>c Ga+c>b+d 7ac>bd ⑧a”>b” (2)BCD 解析 因为a,b,c满足c<a<b,且ac<0,所以c< 诊断自测 0,a>0,b>0,a-c>0,b-a>0, 1.(1)×(2)×(3)× (4)√ 所以ac(a-c)<0,c(b-a)<0,cb2<ab2,ab>ac,故 选 BCD.2.B 解析 因为c<d<0,所以-c>-d>0.又a>b>0,所 以a-c>b-d. [变式训练] 3.C 解析 2<a<3,-2<b<-1,故4<2a<6,1<-b<2, 1.B 解析 对于A,令x=1,y=-云，显然÷+÷=1-2<得 5<2a-b<8. 4.0≥0 解析 a-b=÷-1+x=2df->-2a+≥ 0,错误； 对于 B,x3+y3=(x+y)(x3-xy+y2) =(a+y)[(x-}y)+÷y]≥o. 又x=÷y,y=0不能同时成立， 故(x+y)[(x-去y)+y]>0.,正确， 0,当x=1时，等号成立. 所以 a≥b. 5.(0,2) 解析因为1<x<y<3,所以 y-x>0.又y<3, 一x<-1,所以 y-x<2,所以0<y-x<2. [提升能力 考点剖析] 考点 1 (+÷)-(a+b)=02+6-(+6b 对于C,取x=1,y=0,则lg(x+y)=0,错误；[例1](1)≤ 解析 对于D,取x=1,y=3,则sin(x+y)=sin4<0,错误. a+o)ut?-)a to-6. 2.BD 解析 取a=c=-2,b=d=-1,则a+d=b+c=-3, ac2=-8,bc2=-4,故AC不正确；因为-a>-b>0,-c> 又a<0,h<0.a+b<0.:@+k-bF≤0. ∴(2+号)-(a+b)≤0. 一d>0,所以ac>bd,故B正确； x<d、÷<0,所以甘<云，因为( ,故 D正确. ·355· 高考一轮总复习·数学·RJB 考点3 [提升能力考点剖析 [例3](1)(-3,3) 解析 由-4<β<2,得O≤|β|<4,即-4 考点 1 <-|β|≤0. [181(1) 4r+5-4.x(5-解析√x(5-4r) 2又1<a<3,所以-3<a-|β|<3. 4 =音，5=(5)5∵s<F<4∴2r<(子)≤(2)32 解析 x=意64.∵2≤ay≤3∴÷≤≤2, 当且仅当4x=5-4x,即 时等号成立. (2)-音 a<老，9≤(子)5<32.由不等式的性质，得 解析 ,则2x-3<0,3-2x>0, y=x+z?3 即 的最大值为32,当且仅当-即 时取到.号 =÷(2x-3)+2?-3+2=-[÷(3-2:)+3=z]+ <-2√=(3-2x)·3=2x+--喜，[变式训练] 1.[-1,4] 解析 6x+5y=2x-y+2(2x+3y),即1+2× 32=-32,即x=-!当且仅当： 时等号成立. f(x)=x2-x+4=(x-)3+(x-1)+4_ (-1)≤2x-y+2(2x+3y)≤2+2×1, 故6x+5y的取值范围为[—1,4]. (3)5解 析 解析 因为α∈(0.号),β∈[0.晋].2.(一昏，π) ,所以 2a∈ (x-1)+-=+1.(0,π),-号∈[一吾，0], 所以2a-号∈(一音，π). ∵x>1,∴x-1>0, ∴(x-1)+z-T≥2√(a-1)·-=4(当且仅当x-1-第4讲 基本不等式 ,即 x=3 时取等号). ∴f(x)=4+1=5. [必备知识 夯实四基] 知识梳理 a=b 2? [例2]B 解析 ∵a>0,b>1,且a+b=2,3√ab 42ab 52√P @- -S24 ∴b-1>0且a+(b-1)=1, 诊断自测 ∴÷+6==(+=)Ca+(b-D)=5+46=P+ s-T≥5+2√46=)·∴=9, 4(6=)=,即a=且b=章当且仅当- -时取等号， 故意+万二! 1.(1)×(2)×(3)× (4)× 2.D 解析 因为2a+50=10≥2 √2a·55,所以db<言，当 且仅当a=号.b=1时，等号成立. 音所以ab的最大值为- 的最小值为 9.故选 B. 3.B 解析 设长方体车厢的长为xm,高为hm,则2x+2× [1例3]÷-√2 解析 因为x<0,且x-y=1,所以x=y+1,2h+2xh=32,即x+2h+xh=16, ∴16=x+2h+xh≥2√2xh+xh,即xh+2√2xh-16≤0, 喜y<-1,所以解得0<√xh≤2√2,∴0<xh≤8. ∴车厢的容积为V=2xh≤16(m).当且仅当x=2h且x+ 2h+xh=16,即x=4,h=2时等号成立.∴车厢容积的最大 值为16 m2.选 B. v+*喜-去.因为 y+≥<0,所以 -(0号)-. 4.D 解析 对于A,y可取负数，故A错误； 对于 B,y=(x-1)2+1≥1,故B错误； 当且仅当 y= -I+T: 对于C,y=(√x+1)2+2≥3,故C错误； 对于D.y---√?+T+√>2, 等号成立当且仅当x=0时，故D正确.故选 D. x+zv+i≤÷-√2,所以 x+时等号成立，所以 ÷-√2.2y+的最大值为5.D 解析 y=x(3-2x)<号·(2x+2-)=章. 当且仅 当2x=3-2x,即x=号：时等号成立. [变式训练] 1.D 解析 圆x2+(y-1)2=6的圆心为(0,1),∵直线ax+ 高考一轮总复习·数学·RJB ·356·