第06讲 空间向量的应用（二）：用空间向量研究距离、夹角问题-【暑假预科讲义】2024年新高二数学暑假精品课（高一升高二）（人教A版2019选择性必修第一册）

第06讲 空间向量的应用（二）：用空间向量研究距离、夹角问题 【人教A版2019】 ·模块一 用空间向量研究距离问题 ·模块二 用空间向量研究空间角问题 ·模块三 课后作业 模块一 用空间向量研究距离问题 1．距离问题 (1)点P到直线 l 的距离：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝a，则点P到直线l的距离为(如图)． (2)点P到平面α的距离：设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如图)． 【考点1 点到平面距离的向量求法】 【例1.1】（23-24高二上·北京顺义·期末）在长方体中，，，，则点D到平面的距离为（    ） A．1 B．3 C． D． 【例1.2】（2024·河北沧州·二模）已知四面体满足，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（23-24高二下·江西·开学考试）在正三棱锥中，，且该三棱锥的各个顶点均在以O为球心的球面上，设点O到平面PAB的距离为m，到平面ABC的距离为n，则=（    ） A．3 B． C． D． 【变式1.2】（23-24高二上·河北石家庄·期末）在如图所示的直四棱柱中，底面是正方形，是的中点，点N是棱上的一个动点，则点到平面的距离的最小值为（    ）    A．1 B． C． D． 【考点2 平行平面距离的向量求法】 【例2.1】（23-24高二上·全国·课后作业）正方体的棱长为1，则平面与平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（23-24高二上·陕西西安·期末）两平行平面 ， 分别经过坐标原点 和点 ，且两平面的一个法向量 ，则两平面间的距离是（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（2024高二·全国·专题练习）设正方体的棱长为2，求： (1)求直线到平面的距离； (2)求平面与平面间的距离. 【变式2.2】（2024高二上·全国·专题练习）直四棱柱中，底面为正方形，边长为，侧棱，分别为的中点，分别是的中点．      (1)求证：平面 平面； (2)求平面与平面的距离． 【考点3 点到直线距离的向量求法】 【例3.1】（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知点，则点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．3 【例3.2】（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）在三棱锥中，，，两两垂直，且，，，三角形重心为G，则点P到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（23-24高二下·北京·开学考试）如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的点，且，点在线段上，则点到直线距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（23-24高二上·北京昌平·期末）如图，在长方体中，，，，分别是棱和上的两个动点，且，则的中点到的距离为（    ） A． B． C． D． 模块二 用空间向量研究空间角问题 1．夹角问题 (1)两个平面的夹角：平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角． (2)空间角的向量法解法 角的分类 向量求法 范围 两条异面直线所成的角 设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝ 直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝ 两个平面的夹角 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝ 2．用向量法求异面直线所成角的一般步骤： (1)建立空间直角坐标系； (2)用坐标表示两异面直线的方向向量； (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； (4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值. 3．向量法求直线与平面所成角的主要方法: (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角. 4．向量法求二面角的解题思路: 用法向量求两平面的夹角：分别求出两个法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两平面夹角的大小. 【考点1 向量法求异面直线所成的角】 【例1.1】（23-24高二下·江苏常州·期中）已知四棱锥的底面为直角梯形，， 底面，且，，则