第15讲 与中点有关的辅助线的作法-冲刺2024年中考数学二轮复习重难点专题突破（全国通用）

第15讲 与中点有关的辅助线的作法（原卷版） 第一部分 方法指导及典例剖析 方法指导： 情形1：当三角形中出现两个及以上的中点时，考虑连接两个中点构造中位线。 如图，D、E分别为AB、AC的中点。 结论：DE∥BC，DE＝BC，△ADE∽△ABC 情形2：当三角形中出现中点时，考虑过中点作另一边的平行线构造中位线。 如图，D为AB的中点。 结论：AC＝CE，DE＝BC，△ADE∽△ABC 【典例1】（2023春•富阳区期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，点D是BC边的中点，点E在AC边上，若∠DEC＝45°，那么DE的长是　 ． 【典例2】（2023秋•杜尔伯特县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是（　　） A．2 B． C．3 D． 【变式】（2024春•东台市期中）在Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝6，BC＝8，点N是BC边上一点．点M为AB边上的动点（不与点B重合），点D，E分别为CN，MN的中点，则DE的取值范围为（　　） A．3＜DE＜4 B．3≤DE＜4 C．3≤DE≤4 D． 【典例3】（2023•长安区一模）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且BDCD，若△ABD的中线BF＝2，则AC的长为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 类型二 构造中线 方法指导： 情形1：遇到直角三角形斜边中点的时候，考虑作斜边上的中线。 如图，在RT△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点。 结论：CD＝ 情形2：遇到等腰三角形底边中点的时候，利用“三线合一”解题。 如图，D为等腰△ABC中，，D为底边BC的中点。 结论：AD⊥BC，AD平分∠BAC 【典例4】（2021春•榆林期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝2，D为BC的中点，AEAB，则△EBD的面积为 　 　． 【典例5】（2023•河东区一模）如图，△ABC中，BC＝18，若BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，F、G分别为BC、DE的中点，若ED＝10，则FG的长为（　　） A． B．9 C．10 D．无法确定 类型三 倍长中线构造全等三角形 方法指导： 情形1：遇到三角形的中线时，考虑倍长中线构造全等三角形。 如图，AD是△ABC的中线。 情形2： 遇到三角形一边的中点时，考虑倍长类中线构造全等三角形。 如图，D是BC的中点。 【典例6】如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，边BC上的中线AD＝6，那么边BC的长为（　　） A． B．2 C．13 D．12 【典例7】如图，在△ABC中，点E是AB边的中点，D是BC延长线上一点，连接DE交AC于点F，且AF＝BD，若BD＝3，AC＝5，则CD的长为 　 　． 第二部分 专题提优训练 1．（2023秋•嘉荫县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC的中点，DE⊥AC于点E，AE＝8，求CE的长． 2．（2023•伊川县一模）如图．在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长为（　　） A．1 B． C． D． 3．（2023春•邢台期末）如图，四边形ABCD中，AB与CD不平行，M，N分别是AD，BC的中点，AB＝4，DC＝2，则MN的长不可能是（　　） A．3 B．2.5 C．2 D．1.5 4．（2022秋•福田区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N， （1）求△ABC的面积； （2）求MN的长． 5．（2021春•仓山区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB，D是BC的中点，E是AB上的一点，且BEAB，则DE的长是（　　） A． B． C． D． 6．（2023春•永城市期末）如图，已知正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝2，CE＝6，连接AF，H是AF的中点，连接CH． （1）求线段CH的长； （2）若C，D，G三点在一条直线上，B，C，E三点在一条直线上，其它条件不变，直接写出线段CH的长． 7．（2023秋•槐荫区期中）（1）如图1，若△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，延长AD到点E，使DE＝AD，连接CE，可以得到△ABD≌△ECD，这种作辅助线的方法我们通常叫做“倍长中线法”．求证：△ACE是直角三角形 （2）如图2，△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF．试说明BE2+CF2＝EF2； （3）如图3，在（2）的条件下，若AB＝AC，BE＝12，C