第14讲 半角模型与手拉手模型-冲刺2024年中考数学二轮复习重难点专题突破（全国通用）

第14讲 半角模型与手拉手模型（原卷版） 第一部分 模型解读＋典例剖析 类型一 半角模型 模 型 结 论 1. △AED≌△AEF 2. △CEF是直角三角形 3. BD2＋CD2＝DE2 1. △AEF≌△AEG 2. △AGF是等腰直角三角形 3. EF＝BE＋DF 1. △DEF≌△DGF 2. EF＝BE＋CF 【典例1】（2022•海门市一模）如图，正方形ABCD的边长为6，点M在CB延长线上，BM＝2，作∠MAN＝45°交DC延长线于点N，则MN的长为　 　． 【典例2】（2022秋•武汉月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2．∠BAC＝120°，点D，E都在边BC上，∠DAE＝60°，若BD＝2CE，求DE的长． 类型二 手拉手模型 （一）全等手拉手 模型 结论 【典例3】（2020•洪山区模拟）如图，△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝54°，AB＝AC，AD＝AE，连接BD，CE交于F，连接AF，求∠AFE的度数． 【典例4】（2023春•九江期末）模型认识：如图1是共顶点的双等腰三角形模型．已知AB＝AC，AB′＝AC′，∠BAC＝∠B′AC′，研究此图可以发现一些有趣的结论： 结论证明：如图2，连接BB′、CC′，CC′交AB于E，延长CC′交BB′于点D． 求证：（1）BB′＝CC′；（2）∠BDC＝∠BAC． 联系运用： （3）如图3，△ABC与△AB′C′均为等边三角形，点C′在△ABC内，连接BB′、CC′、BC′，设∠BC′C＝y，∠B′BC′＝x，则y与x满足的关系式是　 　． （4）如图4，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°且∠ADB＝45°，BD＝4，CD，求AD的长． （二）相似手拉手 模 型 模型特点 △AOB∽△COD，且绕公共顶点O旋转 结论 △AOC∽△BOD，且 【典例5】（2021秋•通州区期末）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，点D是BC的中点，点E是平面内一个动点，BE＝1，以点E为直角顶点，EC为直角边在EC的上方作等腰直角三角形ECF．当∠ADF的度数最大时，DF的长为（　　） A． B． C． D． 【典例6】（2023•常熟市二模）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠D＝90°，AB＝BC＝3，CD＝3，AC是对角线，以CD为边向四边形内部作正方形CDEF，连接BF，则BF的长为　 ． 第2部分 专题提优训练 1．（2021春•海门市期末）如图，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC．给出下列结论： ①BD＝CE；②∠ABD+∠ECB＝45°；③BD⊥CE，其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．（2021•宜兴市模拟）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC，AD＝2，BD＝4，连接CD，则CD长的最大值是（　　） A．2 B．21 C．2 D．22 3．（2024春•沭阳县校级月考）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边AD，CD上，若∠EBF＝45°，则△EDF的周长等于 　 　． 4．（2023秋•宁化县月考）（1）如图1，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF＝45°，延长CD到点G，使DG＝BE，连结EF，AG． ①判定AE和AG关系，并证明； ②证明：EF＝FG； （2）如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，且∠MAN＝45°，若BM＝1，CN＝3，求MN的长． 5．（2020秋•江夏区校级月考）如图，已知A、C、B在一条直线上，△ACD、△CBE都是直线AB同侧的等边三角形，连接D交CE于点G，连接AE交DC于点F，连接FG． （1）求证：AE＝BD； （2）求证：FG∥AB． 6．（2023秋•海安市月考）问题背景： 如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD．∠BAD＝120°．∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系． （1）小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 　 ；（直接写结论，不需证明） 探索延伸： （2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADF＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF∠BAD，（1）中结论是否仍然成立，并说明理由； （3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线