第13讲 一线三等角模型-冲刺2024年中考数学二轮复习重难点专题突破（全国通用）

第13讲 一线三等角模型（原卷版） 第一部分 模型解读+典例剖析 类型 同侧型一线三等角（K型） 异侧型一线三等角（背靠背型） 图形 特点 点P在线段AB上， ∠1＝∠2＝∠3 点P在线段BA延长线上， ∠1＝∠2＝∠3 结论 1.△CAP∽△PBD， 2.当AC＝BP或AP＝BD或CP＝PD时，△CAP≌△PBD， 类型一 直接利用模型解题 【典例1】（2022秋•东胜区月考）在学习完第十二章后，张老师让同学们独立完成课本56页第9题：“如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE的长．” （1）请你也独立完成这道题； （2）待同学们完成这道题后，张老师又出示了一道题：在课本原题其它条件不变的前提下，将CE所在直线旋转到△ABC的外部（如图2），请你猜想AD，DE，BE三者之间的数量关系，直接写出结论 　 　（不需证明）． （3）如图3，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AC＝BC，D，C，E三点在同一条直线上，并且有∠BEC＝∠ADC＝∠BCA＝α，其中α为任意钝角，那么（2）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （4）用上述结论完成：如图4，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的阴影部分面积S是 　（直接写答案，不需要证明）． 【典例2】（2020•浙江自主招生）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点D在BC所在的直线上运动，作∠ADE＝45°． （1）如图（1），若点D在线段BC上运动，DE交AC于点E． ①求证：△ABD∽△DCE； ②当△ADE是等腰三角形时，求AE的长． （2）如图（2），若点D在BC的延长线上运动，DE的反向延长线与AC的延长线交于点E′，是否存在点D，使△ADE′是等腰三角形？若存在，求出CD及AE′的长，若不存在，请说明理由． 类型二 构造模型解题 【典例3】（2024•渝中区模拟）如图，△PMN中，∠MPN＝90°，PM＝PN，若点P的坐标为（1，0），点N的坐标为（4，6），则点M的坐标为 　 　． 【典例4】（2021春•武汉月考）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，CD＝2，AD． （1）求∠BCD的度数； （2）连接BD，求BD的长． 【典例5】如图，正方形ABCD的边长为4，E是边CD上一点，且CE＝1，F是AD的中点，对角线AC交BE于点N，P是线段BE上一点，连接EF，PF，PF与AC相交于点G．若∠PFE＝45°，求AG的长． 第二部分 专题提优训练 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，且BE＝CF，BD＝CE． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）求证：∠B＝∠DEF； （3）当∠A＝40°时，求∠DFE的度数． 2．（2023•香坊区开学）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，点E为AB的中点，连接DE、CE，∠DEC＝90°． （1）求证：BE2＝AD•BC； （2）若，AD＝2，求DC的长． 3．（2023秋•城中区期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC是以C为直角顶点的直角三角形，且AC＝BC，点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（﹣3，3），则点B的坐标为 　　． 4．（2019春•龙岗区期末）如图，已知a∥b∥c，a与b之间的距离为3，b与c之间的距离为6，a、b、c分别经过等边三角形ABC的三个顶点，则此三角形的边长为　 　． 5．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF，若DG＝2，BG＝6，则BE的长为 　 　． 6．（2021•罗湖区模拟）如图，在矩形ABCD中，BC＝4，AB＝2，Rt△BEF的顶点E在边CD上，且∠BEF＝90°，EFBE，DF，则tan∠DEF的值为（　　） A． B． C． D．． 7．（2021春•长兴县期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是矩形，已知点A（0，2），AB＝2AD，点C，D在反比例函数的图象上，AB与x轴的正半轴相交于点E，若点E为AB的中点，则k的值为 　 　． 8．（2023•东坡区模拟）如图，在矩形OABC中，OA＝4，AB＝2，点D是边BC的中点，反比例函数0）的图象经过点D，交AB边于点E，直线DE的解析式为 y2＝mx+n （m≠0）． （1）求反比例函数 y1（x＞0）的解析式和直线DE的解析式； （2）在x轴上找一点P，使△PDE的周长最小，求出此时△PDE的周长