专题09 导数及其应用 压轴题（六大题型）-备战2023-2024学年高二数学下学期期末真题分类汇编（沪教版2020选择性必修，上海专用）

专题09 导数及其应用 压轴题（六大题型） 题型1：利用导数证明不等式 1．（22-23高二下·上海·期末）已知函数(其中为自然对数的底数). (1)当时，试求函数在上的最值； (2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)设，证明：. 2．（22-23高二下·上海黄浦·期末）已知定义域为的函数，其导函数为，满足对任意的都有. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若存在，对任意，成立，试判断函数的零点个数，并说明理由； (3)若存在a、，使得，证明：对任意的实数、，都有. 3．（22-23高二下·上海浦东新·期末）已知函数，，. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)令当，若函数有两个零点，，求实数的取值范围； (3)在（2）的条件下，证明：. 题型2：利用导数研究恒成立问题 4．（23-24高三上·上海普陀·期末）已知为实数，．对于给定的一组有序实数，若对任意，，都有，则称为的“正向数组”． (1)若，判断是否为的“正向数组”，并说明理由； (2)证明：若为的“正向数组”，则对任意，都有； (3)已知对任意，都是的“正向数组”，求的取值范围． 5．（22-23高二下·上海嘉定·期末）已知. (1)求曲线在处的切线方程； (2)已知函数在区间上有零点，求的值； (3)记，设、是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的取值范围. 题型3：利用导数研究函数零点、方程的根 6．（22-23高二下·上海松江·期末）设是直角坐标平面上的一点，曲线是函数的图象．若过点恰能作曲线的条切线，则称是函数的“度点”. (1)判断点是否为函数的度点，并说明理由； (2)若点是的度点，求的最小值； (3)求函数的全体度点构成的集合． 7．（2023·上海闵行·一模）定义：如果函数和的图像上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数和具有C关系． (1)判断函数和是否具有C关系； (2)若函数和不具有C关系，求实数a的取值范围； (3)若函数和在区间上具有C关系，求实数m的取值范围． 8．（22-23高二下·上海浦东新·期末）给定函数，若点是的两条互相垂直的切线的交点，则称点为函数的“正交点”.记函数所有“正交点”所组成的集合为. (1)若，判断集合是否为空集，并说明理由； (2)若，证明：的所有“正交点”在一条定直线上，并求出该直线； (3)若，记图像上的所有点组成的集合为，且，求实数的取值范围. 9．（22-23高二下·上海浦东新·期末）已知，函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若有零点，求实数的取值范围； (3)若有两个相异零点，求证：. 题型4：利用导数研究双变量问题 10．（23-24高三上·上海长宁·期中）已知A是直线和曲线的一个公共点. (1)若直线与曲线相切于点A，求的值； (2)设点A的横坐标为，当在区间上变化时，求的最大值； (3)若直线与曲线另有一个不同于A的公共点，求证：线段中点的纵坐标大于1. 11．（2023·上海徐汇·二模）已知常数为非零整数，若函数，满足：对任意，，则称函数为函数. (1)函数，是否为函数﹖请说明理由； (2)若为函数，图像在是一条连续的曲线，，，且在区间上仅存在一个极值点，分别记、为函数的最大、小值，求的取值范围； (3)若，，且为函数，，对任意，恒有，记的最小值为，求的取值范围及关于的表达式. 题型5：高考热点——导数与数列 12．（23-24高三下·上海·阶段练习）已知函数和 (1)若函数是定义域上的严格减函数，求的取值范围. (2)若函数和有相同的最小值，求的值 (3)若，是否存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列 13．（23-24高三下·上海浦东新·期中）已知函数及其导函数的定义域均为.设，曲线在点处的切线交轴于点.当时，设曲线在点处的切线交轴于点.依此类推，称得到的数列为函数关于的“数列”. (1)若，是函数关于的“数列”，求的值； (2)若，是函数关于的“数列”，记，证明：是等比数列，并求出其公比； (3)若，则对任意给定的非零实数，是否存在，使得函数关于的“数列”为周期数列？若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由. 14．（2024·上海普陀·二模）对于函数，和，，设，若，，且，皆有成立，则称函数与“具有性质”. (1)判断函数，与是否“具有性质”，并说明理由； (2)若函数，与“具有性质”，求的取值范围； (3)若函数与“具有性质”，且函数在区间上存在两个零点，，求证. 15．（2024·上海徐汇·二模）已知各项均不为0的数列满足（是正整数），，定义函数，是自然对数的底数. (1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)记函数，其中. （i）证明：对任意，； （ii）数列满足，设为数列的前项