复习03讲 解三角形及其应用（精讲+精练）-2024年高二数学暑假预习（人教A版2019选择性必修第一册）

2024年高二数学暑假自学提升课（人教A版2019选择性必修第一册） 复习03讲 解三角形及其应用（精讲+精练） ①正弦定理直接应用 ②正弦定理边化角 ③正弦定理角化边 ④三角形面积公式 ⑤余弦定理 ⑥判断三角形形状 ⑦解三角形的实际应用 一、正余弦定理和面积公式 （1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 ； ； . 常见变形 (1)，，； (2)，，； ； ； . （2）面积公式： （r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ） 二、公式的相关应用 （1）正弦定理的应用 ①边化角，角化边 ②大边对大角 大角对大边 ③合分比： （2）内角和定理： ① ②； ③在中，内角成等差数列. 三、解三角形的实际应用 （1）仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)． （2）方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)． （3）方向角：相对于某一正方向的水平角． (1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)． (2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向． (3)南偏西等其他方向角类似． （4）坡角与坡度 (1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)． (2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比． 【常用结论】 1.解三角形多解情况 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 2.（1）在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边” （2）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用； （3）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到. ①正弦定理直接应用 策略方法 (1)已知两角A，B与一边a，由A＋B＋C＝π及＝＝，可先求出角C及b，再求出c． (2)已知两边a，b及其中一边的对角A，由正弦定理＝可求出另一边b的对角B，由C＝π－(A＋B)，可求出角C，再由＝可求出c，而通过＝求角B时，可能有一解或两解或无解的情况． 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高一下·福建福州·期中）在中，已知，，，则（    ） A． B． C．或 D． 2．（23-24高一下·甘肃天水·期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，则（    ） A． B．或 C． D．或 3．（23-24高一下·重庆·期中）在中，已知，则（    ） A． B．2 C． D． 二、填空题 4．（24-25高一上·全国·课后作业）在中，，，，则 . 5．（23-24高一下·广东佛山·期中）在中，、、分别是角、、的对边，若，则 . ②正弦定理边化角 策略方法 ，，，注意应用时2R是否会消去 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高一下·山西·期中）在中，内角，，的对边分别是，，，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·云南丽江·阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，若，，则是（   ） A．钝角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 二、填空题 3．（23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的值为 ． 4．（23-24高一下·福建莆田·期中）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，若，则外接圆半径为 . 三、解答题 5．（23-24高一下·广东东莞·阶段练习）在中，角所对的边分别为，且． (1)求的大小； (2)若，，点在边上，且，求线段的长． 6．（23-24高一下·江苏南通·期中）在中，角所对的边分别为，且. (1)求角； (2)若为的中点，且，求. ③正弦定理角化边 策略方法 ，，，注意应用时2R是否会消去 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为，且，若的周长为3，则（   ） A．1 B．2 C． D． 2．（23-24高一下·广东广州·期中）已知的内角的对边分别为，设，，则角等于（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（23-24高一下·上海·期中）的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若，则= . 4．（23-24高一下·河南南阳·期中）设的内角A，B，C所对的边分别为a