2024年希望杯冬令营比赛试题——五年级

2024 IHC D-5 中文卷 1. 计算： 2.0 2.02 2.024 2.0294 2.02994 2.02999 9994 = 。 97个9 2. 已知2024 2024 是 72 的倍数，那么非零自然数 n 的最小值是 。 n个2024 3. 已知n! 1 23 n 。那么2023! 2024! 的末尾有 个连续的零。 4. 四个互不相同的自然数的乘积为 2024，则这四个数的和最大是 。 5. 已知两个自然数之差为 140，这两个数的最小公倍数是其最大公约数的 120 倍，那么这两个自然数的和是 。 6. 为了调查学生的身体状况，学校对幸福小学毕业生进行了体检，毕业生总人数满足除以 8 余 5。率先体检的 45 名学生中有 44 名是合格的。后面该校体检毕业生每 8 名中有 7 名是合格的，且该校毕业生体检合格率在 90%以上，则该校毕业生的人数最多有 名。 7. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状， 后人称为“三角垛”（下图所示的是一个 9 层的三角垛）。“三角垛”最上 层有 1 个球，第二层有 3 个球，第三层有 6 个球，…，设第 n 层有an 个球， (  ) 学科网（北京）股份有限公司 则 1 1 a1 a2 ... 1 a2023 1 a2024 的值是 。 8. 若1 23 2022 2023 2024k m ，其中 k，m 为整数，则整数 k 最大可取 。 9. 黑板上写有 1 到 100 这 100 个自然数，现擦去其中一些数，黑板上至多保留 个数，才能使剩下的数中任意两个的和都不能被 10 整除。 10. 已知一个凸六边形 ABCDEF 的六个内角都是 120°，AF，AB，BC，CD 的长依次是 3，6，2，5，则阴影部分的面积与中间三角形 BDF 的面积之比是 。 11. 如图，一个 8×8 格点阵相邻两个格点间的距离均为 1，连接最外层的格点得到正方形 ABCD。点 E 是正方形内部的一个格点，如果 E 与正方形顶点构成的三角形的面积满足𝑆△𝐸𝐷𝐴 × 𝑆△𝐸𝐵𝐶 = 𝑆△𝐸𝐴𝐵 × 𝑆△𝐸𝐶𝐷，就称格点𝐸为“和谐点”。正方形 ABCD 内部共有 个“和谐点”。 12. 三个连续自然数的和的末四位数恰好是 2024，这三个数中最大的数至少是 。 (  ) 学科网（北京）股份有限公司 13. 设 an 是 12 22 32 42 ... (n 1)2 n2 的个位数字， 其中 n 1, 2 , … 令 a 0.a1a2a3a4a5 ......an1an ，那么 a 的小数点后第 1 位到第 2024 位数字之和 等于 。 14. 设 n 是自然数，且 n + 2 和 n – 87 都是完全平方数，则 n 的值是 。 15. 1~2024 的 2024 个自然数，按从小到大的顺序排列成如下的一个多位自然数： 12345678910111213. 202220232024 从左往右数，依次删去这个整数中所有位于奇数位上的数字组成一个新的整数；再删去这个新数中所有位于奇数位上的数字组成又一个新数……按上述规律一直删除下去直到剩下一个数字为止。那么，最后剩下的这个数字是 。 16. 自然数a、b 满足 7 b 2 ，求适合条件的两个分数 b ，要求分母a 尽可能 11 a 3 a 小且这两个分数的分母相同，则这两个分数的分子之和是 。 17. 请在下面算式的圆圈中填入加号或减号，使得运算的结果是一个非零自然数，那么结果最小是 。 12○22○32○42○ ○20232○20242 18. 有一片均匀生长的草地，可供 100 头牛吃 100 天；也可供 120 头牛吃 80 天。如果有 180 头牛吃草，这片草地可供吃 天。 19. 如图，平行四边形ABCD 的对角线上取两个点O 和F，使得BO:OF:FD=1:2:3, 连接AO 并延长交BC 于G，连接GF 并延长交AD 于H。则△AOB、△FOG、 △FDH 面积之比是 。 (  ) 学科网（北京）股份有限公司 20. 在等式[𝑛] + [𝑛] + [𝑛] + [ 𝑛 ] = 𝑛中，符号[𝑥]表示不超过𝑥的最大整数，则满 2 4 6 12 足等式且小于 2024 的非零自然数𝑛有 个。 21. 教授写出一个自然数 M，小华计算出 M 与 5！的最小公倍数，小红计算出M 与 10！的最大公因数，结果发现小华和小红计算结果之比为 7∶1，那么教授写出的自然数 M 有 种可能。（注： n! 1 23 n ） 22. 如图， P, Q, R 依次为 AB ， BC ， AC 上更靠近 A，B，