10.3 复数的三角形式及其运算（3知识点+4题型+强化训练）-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（人教B版2019必修第四册）

10.3 复数的三角形式及其运算 课程标准 学习目标 （1）了解复数的三角式及其与代数形式之间的关系； （2）能够进行复数的代数形式与三角式的相互转换，并理解辐角的概念； （3）通过复数的几何意义，了解复数的三角式，培养逻辑思维和抽象思维能力； （4）通过复数的代数形式与三角式的互化，提升数学运算能力。 （1）掌握复数的三角表示式，包括模和辐角的概念，以及如何从代数形式转换到三角形式，反之亦然； （2）理解复数的三角式的几何意义，能够在复平面上表示复数，并理解复数的几何性质； （3）学会使用复数的三角式进行乘、除运算，掌握相应的几何解释和运算规则； （4）能够解决涉及复数三角式的实际问题，例如求解复数的乘方、开方等操作。 知识点01 复数的三角形式 1、复数的三角形式：任何一个复数都可以表示成的形式，其中是复数的模，是复数的辅角. 【注意】复数的三角形式必须满足：模非负，角相同，余正弦，加号连。 2、辅角主值 （1）辅角的定义：设复数的对应向量为，以轴的非负半轴为始边，向量所在的射线（射线）为终边的角，叫做复数的辅角. （2）辅角的主值：根据辅角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辅角有无限多个值，且这些值相差的整数倍. 规定：其中在范围内的辅角的值为辅角的主值，通常记作 【注意】因为复数0对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辅角是任意的。 【即学即练1】（23-24高一下·福建泉州·月考）复数的辐角主值为（    ） A． B． C． D． 知识点02 复数乘法的三角形式及其几何意义 1、复数乘法的三角表示：已知，， 则 这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辅角等于各复数的辅角的和。 2、复数乘法的几何意义：两个复数，相乘时，分别画出与，对应的向量，， 然后把向量绕点按逆时针方向旋转（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变成原来的倍，得到向量，表示的复数就是积，这就是复数乘法的几何意义。 3、复数乘法三角表示推广： 特别的，当时， 【即学即练2】（22-23高一下·江苏镇江·期中）已知复数z1＝，z2＝，则z1z2的代数形式是（    ） A． B． C．－i D．＋i 知识点03 复数除法的三角表示及其几何意义 1、复数除法的三角表示：已知， 则 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辅角等于被除数的辅角减去除数的辅角所得的差. 2、复数除法的几何意义：两个复数，相除时，先分别画出与，对应的向量，，然后把向量绕点按顺时针方向旋转（如果，就要把绕点按逆时针方向旋转角），再把它的模变成原来的倍，得到向量，表示的复数就是商，这就是复数除法的几何意义。 【即学即练3】（23-24高一下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）. 【题型一：求复数的幅值主角】 例1．（2024高一下·全国·专题练习）－6的辐角的主值为（　　） A．0 B． C．π D． 变式1-1．（22-23高一下·福建厦门·期中）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 变式1-2．（22-23高一下·上海杨浦·期末）已知为虚数单位，，则的辐角主值为 . 变式1-3．（23-24高一下·全国·专题练习）复数的三角形式的辐角主值为 . 【方法技巧与总结】 在内的辅角成为辅角主值，除0外每个复数有且仅有一个辅角主值，一般先用复数对应的点确定辅角的终边所在的象限（或轴线），再由（或）确定在内的角，即为；也可以根据三角形式直接求辅角主值，注意不是三角形式的要求先转化为三角形式。 【题型二：复数的代数式与三角式互化】 例2．（22-23高一下·江苏盐城·月考）将复数化为三角形式： ． 变式2-1．（23-24高一下·安徽淮南·期中）复数的三角形式是（    ） A． B． C． D． 变式2-2．（23-24高一下·全国·专题练习）复数的三角形式是（    ） A． B． C． D． 变式2-3．（23-24高一下·全国·专题练习）把下列复数表示成代数形式． （1）； （2）． 【方法技巧与总结】 1、将复数化为三角形式时，要注意以下两点： （1）， （2），，其中终边所在象限与点所在象限相同，当，时， 2、每一个不等于零的复数有唯一的模与辅角的主值，并且由它的模与辅角的主值唯一确定。因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辅角的主值分别相等。 【题型三：三角形式下复数的乘除法运算】 例3．（22-23高一下·湖北武汉·期末）已知i为虚数单位，则（    ） A． B．1 C． D．i 变式3-1．（23-24高一下·云南·月考）棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，