第05讲 空间向量的应用（一）：用空间向量研究直线、平面的位置关系-【暑假预科讲义】2024年新高二数学暑假精品课（高一升高二）（人教A版2019选择性必修第一册）

第05讲 空间向量的应用（一）：用空间向量研究直线、平面的位置关系 【人教A版2019】 ·模块一 空间中点、直线和平面的向量表示 ·模块二 用空间向量研究直线、平面的平行关系 ·模块三 用空间向量研究直线、平面的垂直关系 ·模块四 课后作业 模块一 空间中点、直线和平面的向量表示 1．空间中点、直线和平面的向量表示 (1)空间中点的位置向量：如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量． (2)空间中直线的向量表示式：直线l的方向向量为a ，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta①，把＝a代入①式得＝＋t②， ①式和②式都称为空间直线的向量表示式． (3)平面的法向量定义： 直线l⊥α，取直线l的方向向量a ，我们称向量a为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合. 【注】一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量.已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量. 【考点1 求平面的法向量】 【例1.1】（23-24高二上·湖北孝感·期末）已知点，则下列向量可作为平面的一个法向量的是（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）在空间直角坐标系中，，，，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（23-24高二上·河南·阶段练习）已知点，，，则下列向量是平面的法向量的是（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（23-24高二下·江西抚州·阶段练习）已知平面α内两向量，且.若为平面α的法向量，则m，n的值分别为（　　） A．-1，2 B．1，-2 C．1，2 D．-1，-2 模块二 用空间向量研究直线、平面的平行关系 1．空间中直线、平面的平行 (1)线线平行的向量表示：设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2. (2)线面平行的向量表示：设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0. (3)面面平行的向量表示：设n1 ，n2 分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2 . 2．利用向量证明线线平行的思路： 证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可． 3．证明线面平行问题的方法： (1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内； (2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内； (3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内． 4．证明面面平行问题的方法： (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行． (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 【考点1 利用空间向量证明线线平行】 【例1.1】（2023高二·全国·专题练习）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，． 证明：. 【例1.2】（23-24高二·全国·课后作业）已知长方体中，，，，点S、P在棱、上，且，，点R、Q分别为AB、的中点．求证：直线直线． 【变式1.1】（23-24高二上·全国·课后作业）如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，为的中点，，求证：．    【变式1.2】（22-23高二下·江苏·课后作业）如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，求证：. 【考点2 利用空间向量证明线面平行】 【例2.1】（2024高二上·全国·专题练习）如图所示，在直角梯形中，，，，是的中点，分别为的中点，将沿折起，使得平面，试用向量方法证明 平面. 【例2.2】（2024高二上·全国·专题练习）如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，且点分别为和的中点， 求证：平面. 【变式2.1】（2023高二·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，，分别是，的中点. 求证： 平面.    【变式2.2】（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4的正方形，，平面平面ABCD，且，，点G是EF的中点．    (1)证明：平面ABCD； (2)线段AC上是否存在一点M，使 平面ABF？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【考点3 利用空间向量证明面面平行】 【例3.1】（23-24高二上·湖南株洲·期中）如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点．证明：    (1)平面； (2)平面平