第10章 链接高考12 带电粒子在匀强磁场中的运动-【创新教程】2025年高考物理总复习大一轮课件PPT（人教版）

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\f(2πm,qB).根据两个公式可由q、m、v、B计算粒子运动的半径、周期，也可根据粒子运动的半径或周期计算磁感应强度、粒子的电荷量、质量等． (3)运动时间计算式：计算粒子的运动时间或已知粒子的运动时间计算圆心角或周期时，常用到t＝eq \f(θ,2π)·T. [典例1]　(2023·全国甲卷，20)(多选)光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场，筒上P点开有一个小孔，过P的横截面是以O为圆心的圆，如图所示．一带电粒子从P点沿PO射入，然后与筒壁发生碰撞．假设粒子在每次碰撞前、后瞬间，速度沿圆上碰撞点的切线方向的分量大小不变，沿法线方向的分量大小不变、方向相反；电荷量不变．不计重力．下列说法正确的是(　　) A．粒子的运动轨迹可能通过圆心O B．最少经2次碰撞，粒子就可能从小孔射出 C．射入小孔时粒子的速度越大，在圆内运动时间越短 D．每次碰撞后瞬间，粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心O的连线 [审题指导]　(1)粒子沿半径方向射入，则沿半径方向射出． (2)由粒子在磁场中运动时间的表达式可判断出粒子在磁场中运动时间的长短． (3)画出运动轨迹，利用几何关系解题． 解析：BD　[D.假设粒子带负电，第一次从A点和筒壁发生碰撞如图，O1为圆周运动的圆心，由几何关系可知∠O1AO为直角，即粒子此时的速度方向为OA，说明粒子在和筒壁碰撞时速度会反向，由圆的对称性可知，在其他点撞击瞬间，粒子速度方向一定平行碰撞点与圆心的连线，D正确； A．假设粒子运动过程过O点，则过P点的速度的垂线和OP连线的中垂线是平行的不能交于一点确定圆心，由圆形对称性撞击筒壁以后的A点的速度垂线和AO连线的中垂线依旧平行不能确定圆心，则粒子不可能过O点，A错误；B.由题意可知粒子射出磁场以后的圆心 组成的多边形应为以筒壁的内接圆的多边形，最少应为三角形如图所示 即撞击两次，B正确；C.速度越大粒子做圆周运动的半径越大，碰撞次数会可能增多，粒子运动时间不一定减少，C错误．故选BD.] ◆[迁移1]　带电粒子在直线边界磁场中的运动　 1．如图，仅在第一象限存在垂直纸面向里的匀强磁场，一个带负电的微粒a从坐标(0，L)处射入磁场，射入方向与y轴正方向的夹角为45°，经时间t与静止在坐标(L，L)处的不带电微粒b发生碰撞，碰后瞬间结合为微粒c.已知a、b质量相同(重力均不计)，则c在磁场中运动的时间为(　　) A．0.25t　　 B．0.52t　　　 C．t　　 D．2t 解析：D　[设微粒a的速率为v，两微粒碰撞过程系统动量守恒，以a微粒的速度方向为正方向，由动量守恒定律得mv＝2mv′， 微粒在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律对a有qvB＝eq \f(mv2,ra)， 对c有qvB＝2meq \f(v′2,rc)， 解得ra＝eq \f(mv,qB)，rc＝eq \f(2mv′,qB)＝eq \f(mv,qB)＝ra 微粒运动轨迹如图所示， 由几何知识可知，a、c两微粒做匀速圆周运动转过的圆心角相等，都是90°，微粒在磁场中做圆周运动的周期Ta＝eq \f(2πm,qB)，Tc＝eq \f(2π·2m,qB)＝eq \f(4πm,qB)＝2Ta. 则微粒在磁场中的运动时间ta＝eq \f(1,4)Ta＝t，tc＝eq \f(1,4)Tc＝2t.选项D正确．] ◆[迁移2]　带电粒子在圆形边界磁场中的运动　 2. (2022·辽宁卷，8)(多选)粒子物理研究中使用的一种球状探测装置横截面的简化模型如图所示．内圆区域有垂直纸面向里的匀强磁场，外圆是探测器．两个粒子先后从P点沿径向射入磁场，粒子1沿直线通过磁场区域后打在探测器上的M点．粒子2经磁场偏转后打在探测器上的N点．装置内部为真空状态，忽略粒子重力及粒子间相互作用力．下列说法正确的是(　　 ) A．粒子1可能为中子 B．粒子2可能为电子 C．若增大磁感应强度，粒子1可能打在探测器上的Q点 D．若增大粒子入射速度，粒子2可能打在探测器上的Q点 解析：AD　[AB.由题图可看出粒子1没有偏转，说明粒子1不带电，则粒子1可能为中子；粒子2向上偏转，根据左手定则可知粒子2应该带正电，A正确、B错误；C.由以上分析可知粒子1为中子，则无论如何增大磁感应强度，粒子1都不会偏转，C错误；D.粒子2在磁场中洛伦兹力提供向心力有qvB＝meq \f(v2,r)，解得r＝eq \f(mv,qB)，可知若增大粒子入射速度，则粒子2的半径增大，粒子2可能打在探测器上的Q点，D正确．故选AD.] ◆[迁移3]　带电粒子在平行边界磁场中的运动　 3. (2024·山东菏泽期末)如图所示，匀强磁场宽L＝eq \f(\r(3),2) m，磁感应强度大小B＝1.67×10－3T，方向垂直纸面向里，一质子以水平速度v＝1.6×105 m/s垂直磁场边界从小孔C射入磁场，打到照相底片上的A点．已知质子的质量m＝1.67×10－27 kg，带电荷量e＝1.6×10－19 C，不计质子的重力．求： (1)质子在磁场中运动的轨迹半径r； (2)A点距入射线方向上的O点的距离H； (3)质子从小孔C射入至到达A点所需的时间． 解：(1)质子在磁场中运动，由洛伦兹力提供向心力，有evB＝eq \f(mv2,r)，解得r＝eq \f(mv,eB)， 代入数据得r＝1 m. (2)设圆弧对应的圆心角为θ，则由几何关系可得 sin θ＝eq \f(L,r)，H＝r(1－cos θ)， 解得θ＝60°，H＝0.5 m. (3)质子在磁场中转动的角度θ＝60°，则运动的时间为t＝eq \f(60°,360°)T， 又T＝eq \f(2πm,eB)， 解得t＝eq \f(5π,24)×10－5s(或6.54×10－6 s)． 答案：(1)1 m　(2)0.5 m　(3)eq \f(5π,24)×10－5s(或6.54×10－6 s) 1．带电粒子在磁场中做匀速圆周运动解题“三步法” 2．在轨迹中寻求边角关系时，一定要关注三个角的联系：圆心角、弦切角、速度偏角；它们的大小关系为：圆心角等于速度偏角，圆心角等于2倍的弦切角．在找三角形时，一般要寻求直角三角形，利用勾股定理或三角函数求解问题． 3．解决带电粒子在边界磁场中运动的问题时，一般注意以下两种情况： (1)直线边界中的临界条件为与直线边界相切，并且从直线边界以多大角度射入，还以多大角度射出； (2)在圆形边界磁场中运动时，如果沿着半径射入，则一定沿着半径射出． (2024·山东济南模拟)如图所示，边长为eq \r(3)L的正三角形abc区域内存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，正三角形中心O有一粒子源，可以沿abc平面任意方向发射相同的带电的粒子，粒子质量为m，电荷量为q.粒子速度大小为v时，恰好没有粒子穿出磁场区域，不计粒子的重力．下列说法正确的是(　　) A．磁感应强度大小为eq \f(2mv,qL) B．磁感应强度大小为eq \f(4mv,qL) C．若发射粒子速度为2v时，在磁场中运动的最短时间为eq \f(2πL,3v) D．若发射粒子速度为2v时，在磁场中运动的最短时间为eq \f(πL,6v) 解析：B　[磁场方向垂直纸面向外，粒子恰好没有穿出磁场区域，因此粒子轨迹圆的直径等于过O点所做的垂直于cb的线段长度，设垂足为d，由几何关系得Od＝eq \f(1,2)L，所以半径为r＝eq \f(1,4)L，由于洛伦兹力提供向心力，即有qvB＝meq \f(v2,r)，得B＝eq \f(4mv,qL)，A错误，B正确；当发射粒子速度为2v时，由公式2qvB＝meq \f(2v2,r′)，得r′＝eq \f(2mv,Bq)＝eq \f(L,2)，求最短时间， 也就是求粒子在磁场中转过最小的角度，当粒子从垂足d穿出时，时间最短，由几何关系可得，转过的角度为θ＝60°，则时间为eq \f(T,6)，又因为T＝eq \f(2πm,qB)＝eq \f(πL,2v)，即最短时间t＝eq \f(T,6)＝eq \f(πL,12v)，C、D错误．] 考点二　带电粒子在匀强磁场中的临界问题 解决带电粒子在磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解． 1．临界条件 带电粒子刚好穿出(不穿出)磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切，故边界(边界的切线)与轨迹过切点的半径(直径)垂直． 2．几种常见的求极值情况(速度一定时) (1)最长时间：弧长最长，一般为轨迹与直线边界相切． 圆形边界：公共弦为小圆直径时，出现极值，即： 当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，以磁场直径的两端点为入射点和出射点的轨迹对应的圆心角最大，粒子运动时间最长． (2)最短时间：弧长最短(弦长最短)，入射点确定，入射点和出射点连线与边界垂直． 如图，P为入射点，M为出射点．此时在磁场中运动时最短． [典例2]　 (多选)如图所示，在坐标系的y轴右侧存在有理想边界的匀强磁场，磁感应强度为B，磁场的宽度为d，磁场方向垂直于xOy平面向里．一个质量为m、电荷量为－q(q>0)的带电粒子，从原点O射入磁场，速度方向与x轴正方向成30°角，粒子恰好不从右边界射出，经磁场偏转后从y轴上的某点离开磁场．忽略粒子重力．关于该粒子在磁场中的运动情况，下列说法正确的是(　　) A．它的轨道半径为eq \f(2,3)d B．它进入磁场时的速度为eq \f(2qBd,3m) C．它在磁场中运动的时间为eq \f(2πm,3qB) D．它的运动轨迹与y轴交点的纵坐标为eq \r(3)d [解析]　AB　[粒子运动轨迹如图所示， r＋rsin 30°＝d，解得粒子运动轨道半径为r＝eq \f(2,3)d，故A正确；由qvB＝meq \f(v2,r)，r＝eq \f(2,3)d，联立解得粒子进入磁场时的速度为v＝eq \f(qBr,m)＝eq \f(2qBd,3m)， 故B正确；由T＝eq \f(2πr,v)＝eq \f(2πm,qB)，如图由几何关系知t＝eq \f(2,3)T，解得粒子在磁场中运动的时间为t＝eq \f(4πm,3qB)，故C错误；粒子运动轨迹与y轴交点的纵坐标为y＝－2rcos 30°＝－eq \f(2\r(3),3)d，故D错误．] ◆[迁移1]　带电粒子运动的临界问题　 1.如图所示，在边长为2a的正三角形区域内存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，一个质量为m、电荷量为－q(q>0)的带电粒子(重力不计)从AB边的中心O以速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与AB边的夹角为60°，若要使粒子能从AC边穿出磁场，则匀强磁场磁感应强度的大小B需满足(　　 ) A．B>eq \f(\r(3)mv,3aq)　　　　　 B．B<eq \f(\r(3)mv,3aq) C．B>eq \f(\r(3)mv,aq) D．B<eq \f(\r(3)mv,aq) 解析：B　[若粒子刚好达到C点时，其运动轨迹与AC相切，如图所示， 粒子运动的半径为r0＝eq \f(a,tan 30°)＝eq \r(3)a.由qvB＝eq \f(mv2,r)得r＝eq \f(mv,qB)，粒子要能从AC边射出，粒子运行的半径应满足r>r0，解得B<eq \f(\r(3)mv,3aq)，选项B正确．] ◆[迁移2]　带电粒子运动的极值问题　 2．如图，ABCD是边长为a的正方形．质量为m、电荷量为e的电子以大小为v0的初速度沿纸面垂直于BC边射入正方形区域．在正方形内适当区域中有匀强磁场．电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射出磁场．不计重力，求： (1)此匀强磁场区域中磁感应强度的大小和方向； (2)此匀强磁场区域的最小面积． 解：(1)设匀强磁场的磁感应强度的大小为B，令圆弧是自C点垂直于BC入射的电子在磁场中的运行轨迹．电子所受到的磁场的作用力大小f＝ev0B① 方向应指向圆弧的圆心，因而磁场的方向应垂直于纸面向外．圆弧的圆心在CB边或其延长线上．依题意，圆心在A、C连线的中垂线上，故B点即为圆心，圆半径为a. 根据牛顿第二定律有f＝meq \f(v\o\al(2,0),a)，② 联立①②式得B＝eq \f(mv0,ea).③ (2)由(1)中确定的磁感应强度的方向和大小可知，自C点垂直于BC入射的电子在A点沿DA方向射出，且自BC边上其他点垂直入射的电子的运动轨迹只能在BAEC区域中，因而，圆弧是所求的最小磁场区域的一个边界． 为了确定该磁场区域的另一边界，需考查从A点射出的电子的速度方向与BA的延长线的交角θ(不妨设0≤θ<eq \f(π,2))的情形，该电子的运动轨迹QPA如图所示． 图中，圆弧的圆心为O，PQ垂直于BC边，由③式知，圆弧的半径仍为a，在以D为原点，DC为x轴，DA为y轴的坐标系中，P点的坐标(x，y)为 x＝asin θ④ y＝a－(a－acos θ)＝acos θ⑤ 这意味着，在范围0≤θ≤eq \f(π,2)内，P点形成以D为圆心，a为半径的四分之一圆周.它是电子做直线运动和圆周运动的分界线，构成所求磁场区域的另一边界． 因此，所求的最小匀强磁场区域是分别以B和D为圆心、a为半径的两个四分之一圆周和所围成的，其面积为S＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)πa2－\f(1,2)a2))＝eq \f(π－2,2)a2. 答案：(1)eq \f(mv0,ea)　方向垂直纸面向外 (2)eq \f(π－2,2)a2 　真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示．一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场．已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力．为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为(　　) A.eq \f(3mv,2ae) B.eq \f(mv,ae) C.eq \f(3mv,4ae) D.eq \f(3mv,5ae) 解析：C　[电子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则eBv＝meq \f(v2,r)，所以磁感应强度与圆周运动轨迹关系为B＝eq \f(mv,er)，即运动轨迹半径越大，磁场的磁感应强度越小．设电子运动轨迹最大的半径为rmax，为了使电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，其最大半径的运动轨迹与实线圆相切，如图所示， A点为电子做圆周运动的圆心，电子从圆心沿半径方向进入磁场，由左手定则可得AB⊥OB，△ABO为直角三角形，则由几何关系可得(3a－rmax)2＝req \o\al(2,max)＋a2，解得rmax＝eq \f(4,3)a，解得磁场的磁感应强度最小值Bmin＝eq \f(mv,ermax)＝eq \f(3mv,4ae)，选项C正确．] 考点三　带电粒子在磁场中运动的多解问题 带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于带电粒子电性不确定、磁场方向不确定、临界状态不确定、运动的往复性造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题． (1)找出多解的原因． (2)画出粒子的可能轨迹，找出圆心、半径的可能情况． [典例3]　 (多选)如图所示，左右边界分别为PP′、QQ′的匀强磁场的宽度为d，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里．一个质量为m、电荷量为q的粒子，沿图示方向以速度v0垂直射入磁场．欲使粒子不能从边界QQ′射出，粒子入射速度v0的最大值可能是(　　) A.eq \f(2＋\r(2)Bqd,m)　　　　　 B.eq \f(Bqd,m) C.eq \f(2－\r(2)Bqd,m) D.eq \f(\r(2)Bqd,2m) [解析]　AC　[粒子射入磁场后做匀速圆周运动，由R＝eq \f(mv0,qB)知，粒子的入射速度v0越大，R越大，当粒子的轨迹和边界QQ′相切时，粒子刚好不从QQ′射出，此时其入射速度v0应为最大．若粒子带正电，其运动轨迹如图(a)所示(此时圆心为O点)，由几何关系得R1sin 45°＋d＝R1，将R1＝eq \f(mv0,qB)代入上式得v0＝eq \f(2＋\r(2)Bqd,m)，A正确． 若粒子带负电，其运动轨迹如图(b)所示(此时圆心为O′点)，由几何关系得R2＋R2cos 45°＝d，将R2＝eq \f(mv0,qB)代入上式得v0＝eq \f(2－\r(2)Bqd,m)，C正确。] ◆[迁移1]　磁场方向不确定形成多解　 1. (多选)如图所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计．为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场．已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为eq \f(q,m)，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是(　　) A．B>eq \f(mv,3qs)，垂直纸面向里 B．B>eq \f(mv,qs)，垂直纸面向里 C．B>eq \f(mv,qs)，垂直纸面向外 D．B>eq \f(3mv,qs)，垂直纸面向外 解析：BD　[当磁场方向垂直纸面向里时，离子恰好与OP相切的轨迹如图甲所示， 切点为M，设轨迹半径为r1，由几何关系可知， sin 30°＝eq \f(r1,s＋r1)，可得r1＝s，由r1＝eq \f(mv,B1q)可得B1＝eq \f(mv,qs)；当磁场方向垂直纸面向外时，其临界轨迹，即圆弧与OP相切于N点， 由几何关系s＝eq \f(r2,sin 30°)＋r2，得r2＝eq \f(s,3)，又r2＝eq \f(mv,qB2)，所以B2＝eq \f(3mv,qs)，综合上述分析可知，选项B、D正确，A、C错误．] ◆[迁移2]　运动的往复性形成多解　 2. (2022·湖北卷，8)(多选)在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP与磁场左右边界垂直．离子源从S处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角．已知离子比荷为k，不计重力．若离子从Р点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为(　　 ) A.eq \f(1,3)kBL,0° B.eq \f(1,2)kBL,0° C．kBL,60° D．2kBL,60° 解析：BC　[若粒子通过下部分磁场直接到达P点，如图 根据几何关系则有R＝L，qvB＝meq \f(v2,R)，可得v＝eq \f(qBL,m)＝kBL， 根据对称性可知出射速度与SP成30°角向上，故出射方向与入射方向的夹角为θ＝60°. 当粒子、上下均经历一次时，如图 因为上、下磁感应强度均为B，则根据对称性有R＝eq \f(1,2)L， 根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝meq \f(v2,R)，可得v＝eq \f(qBL,2m)＝eq \f(1,2)kBL， 此时出射方向与入射方向相同，即出射方向与入射方向的夹角为θ＝0°. 通过以上分析可知当粒子从下部分磁场射出时，需满足v＝eq \f(qBL,2n－1m)＝eq \f(1,2n－1)kBL(n＝1,2,3……)， 此时出射方向与入射方向的夹角为θ＝60°； 当粒子从上部分磁场射出时，需满足v＝eq \f(qBL,2nm)＝eq \f(1,2n)kBL(n＝1,2,3……) 此时出射方向与入射方向的夹角为θ＝0°. 故可知BC正确，AD错误．故选BC.] 　解决多解问题的一般思路 1．明确带电粒子的电性和磁场方向． 2．正确找出带电粒子运动的临界状态． 3．结合带电粒子的运动轨迹利用圆周运动的周期性进行分析计算． 如图所示，空间存在着两个方向均垂直纸面向外的匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，磁感应强度大小分别为B1、B2，且B1＝B0、B2＝2B0，MN为两个磁场的边界．一质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)从边界上的A点以一定的初速度竖直向上射入匀强磁场区域Ⅰ中，边界MN上的C点与A点的距离为d.试求该粒子从A点射入磁场的速度v0为多大时，粒子恰能经过C点． 解析：设粒子在磁场区域Ⅰ中做圆周运动的半径为r1，在磁场区域Ⅱ中做圆周运动的半径为r2，则有r1＝eq \f(mv0,qB0)，r2＝eq \f(mv0,2qB0)，可得r1＝2r2.由题意可知，速度v0的最大值对应的半径应为r1＝d，如图中的轨迹①所示． 若粒子在A点的速度小一些，则由分析可知，凡是做圆周运动的半径满足条件d＝nr1(n＝1,2,3，…)的粒子都满足恰能通过C点的条件，如图中的轨迹②③所示，所以r1＝eq \f(d,n)(n＝1,2,3，…)，又因为r1＝eq \f(mv0,qB0)，联立解得v0＝eq \f(dqB0,nm)(n＝1,2,3，…)． 答案：eq \f(dqB0,nm)(n＝1,2,3，…) 两类典型的“动态圆”模型 ◆[模型1]　旋转圆模型(确定的入射点O和速度大小v，不确定速度方向) 在垂直于纸面的无限大的磁感应强度为B的匀强磁场中，在O点有一粒子源在纸面内，朝各个方向发射速度大小为v，质量为m，电荷量为＋q的带电粒子(重力不计)，这些带电粒子在匀强磁场中做同方向旋转匀速圆周运动．其特点是： (1)各动态圆圆心O1、O2、O3 、O4 、O5(取五个圆)的轨迹分布在以粒子源O为圆心，R＝eq \f(mv,qB)为半径的一个圆周上(如图虚线所示)． (2)带电粒子在磁场中能经过的区域是以粒子源O为圆心，2R为半径的大圆(如图实线所示)． (3)各动态圆相交于O点． ◆[模型2]　放缩圆模型(确定入射点O和速度方向，不确定速度大小) 在垂直于纸面的无限大的磁感应强度为B的匀强磁场中，在O点有一粒子源在纸面内，沿同一方向发射速度为v，质量为m，电荷量为＋q的带电粒子(重力不计)，这些带电粒子在匀强磁场中做同方向旋转匀速圆周运动．其特点是： (1)各动态圆的圆心(取七个圆)分布在与速度方向垂直的同一条直线上，如图所示． (2)各动态圆的半径R各不相同． (3)各动态圆相交于O点． [典例]　 (2020·全国卷Ⅰ，18)一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径．一束质量为m、电荷量为q(q＞0)的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率．不计粒子之间的相互作用．在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为(　　) A.eq \f(7πm,6qB)　　 B.eq \f(5πm,4qB)　　C.eq \f(4πm,3qB)　　 D.eq \f(3πm,2qB) [解析]　C　[粒子在磁场中做匀速圆周运动qBv＝eq \f(mv2,r)，T＝eq \f(2πr,v)，可得粒子在磁场中的周期T＝eq \f(2πm,qB)， 粒子在磁场中运动的时间t＝eq \f(θ,2π)·T＝eq \f(θm,qB)，则粒子在磁场中运动的时间与速度无关，轨迹对应的圆心角越大， 运动时间越长．采用放缩圆解决该问题，粒子垂直ac射入磁场，则轨迹圆心必在ac直线上，将粒子的轨迹半径由零逐渐放大．当半径r≤0.5R和r≥1.5R时，粒子分别从ac、bd区域射出，磁场中的轨迹为半圆，运动时间等于半个周期．当0.5R<r<1.5R时，粒子从半圆边界射出，逐渐将轨迹半径从0.5R逐渐放大，粒子射出位置从半圆顶端向下移动，轨迹圆心角从π逐渐增大，当轨迹半径为R时，轨迹圆心角最大，然后再增 大轨迹半径，轨迹圆心角减小，因此当轨迹半径等于R时轨迹圆心角最大，即轨迹对应的最大圆心角θ＝π＋eq \f(π,3)＝eq \f(4,3)π，粒子运动最长时间为t＝eq \f(θ,2π)T＝eq \f(\f(4,3)π,2π)×eq \f(2πm,qB)＝eq \f(4πm,3qB)，故选C.] 1．(多选)如图所示，纸面内有宽为L水平向右飞行的带电粒子流，粒子质量为m，电荷量为－q，速率为v0，不考虑粒子的重力及相互间的作用，要使粒子都汇聚到一点，可以在粒子流的右侧虚线框内设计一匀强磁场区域，则磁场区域的形状及对应的磁感应强度可以是(其中B0＝eq \f(mv0,qL)，A、C、D选项中曲线均为半径是L的eq \f(1,4)圆弧，B选项中曲线为半径是eq \f(L,2)的圆)(　　) 解析：AB　[由于带电粒子流的速度均相同，则当飞入A、C选项中的磁场时，它们的轨迹对应的半径均相同．B、D选项因为磁场是2B0，粒子在其中运动半径是在A、C中运动半径的一半．然而当粒子射入C、D两选项时，均不可能汇聚于同一点．所以只有A、B选项能汇聚于一点．] 2．(多选)如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd区域内，O点是cd边的中点．一个带正电的粒子仅在磁场力的作用下，从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0后刚好从c点射出磁场．现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向，以大小不同的速率射入正方形内，那么下列说法中正确的是(　　) A．若该带电粒子在磁场中经历的时间是eq \f(5,3)t0，则它一定从cd边射出磁场 B．若该带电粒子在磁场中经历的时间是eq \f(2,3)t0，则它一定从ad边射出磁场 C．若该带电粒子在磁场中经历的时间是eq \f(5,4)t0，则它一定从bc边射出磁场 D．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0，则它一定从ab边射出磁场 解析：AC　[如图所示， 作出刚好从ab边射出的轨迹①、刚好从bc边射出的轨迹②、从cd边射出的轨迹③和刚好从ad边射出的轨迹④.由从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0后刚好从c点射出磁场可知， 带电粒子在磁场中做圆周运动的周期是2t0.可知，从ad边射出磁场经历的时间一定小于eq \f(1,3)t0；从ab边射出磁场经历的时间一定大于等于eq \f(1,3)t0，小于eq \f(5,6)t0；从bc边射出磁场经历的时间一定大于等于eq \f(5,6)t0，小于eq \f(4,3)t0；从cd边射出磁场经历的时间一定是eq \f(5,3)t0，综上可知，A、C正确，B、D错误．] $$