第5章 第3讲 机械能守恒定律及其应用-【创新教程】2025年高考物理总复习大一轮课件PPT（人教版）

第3讲 机械能守恒定律及其应用 第五章 机械能守恒定律 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 课前 双基落实 课堂 师生互动 01 02 提升 学科素养 03 课后 素养提能 04 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 课前 双基落实 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 课堂 师生互动 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 提升 学科素养 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 第五章 机械能守恒定律 高考总复习 物理（新教材） [知识点一]　重力做功与重力势能　 1．重力做功的特点 (1)重力做功与路径无关，只与初、末位置的　高度差　有关． (2)重力做功不引起物体　机械能　的变化． 2．重力势能 (1)公式：Ep＝　mgh　. (2)特性： ①标矢性：重力势能是　标量　，但有正、负，其意义是表示物体的重力势能比它在参考平面上大还是小，这与功的正、负的物理意义不同． ②系统性：重力势能是物体和　地球　所组成的“系统”共有的． ③相对性：重力势能的大小与　参考平面　的选取有关．重力势能的变化是　绝对　的，与参考平面的选取　无关　. 3．重力做功与重力势能变化的关系 (1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能就　减少　；重力对物体做负功，重力势能就　增加　. (2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量．即WG＝Ep1－Ep2＝　－ΔEp　. [知识点二]　弹性势能　 1．定义：发生　弹性形变　的物体之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能． 2．弹力做功与弹性势能变化的关系： 弹力做正功，弹性势能　减少　；弹力做负功，弹性势能　增加　.即W＝　－　　ΔEp　. [知识点三]　机械能守恒定律　 1．机械能 　动能　和　势能　统称为机械能，其中势能包括　重力　势能和　弹性　势能． 2．机械能守恒定律 (1)内容：在只有　重力或弹力　做功的物体系统内，动能和势能可以互相　转化　，而总的机械能保持　不变　. (2)守恒的条件：只有重力或系统内的弹力做功． (3)守恒表达式：mgh1＋eq \f(1,2)mveq \o\al(2,1)＝　mgh2＋eq \f(1,2)mveq \o\al(2,2)　. 一、思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) 1．重力势能的大小与零势能参考面的选取有关．(√) 2．重力势能的变化与零势能参考面的选取有关．(×) 3．克服重力做功，物体的重力势能一定增加．(√) 4．做曲线运动的物体机械能可能守恒．(√) 5．物体初、末状态的机械能相等，则物体的机械能守恒．(×) 6．只有弹簧弹力对物体做功，则物体机械能守恒．(×) 二、走进教材 1．(人教版必修第二册 P93第1题改编)在下面列举的各个实例中，关于机械能守恒的判断正确的是(　　) A．不计空气阻力，运动员踢出的足球和地球组成的系统机械能守恒 B．拉着一个金属块使它沿光滑的圆弧面匀速上升，金属块和地球组成的系统机械能守恒 C．跳伞运动员带着张开的降落伞在空气中减速下落，运动员和地球组成的系统机械能守恒 D．光滑斜面上运动的小球碰到一个弹簧，把弹簧压缩后又被弹回来，小球的机械能守恒 解析：A　[不计空气阻力，运动员踢出的足球只受重力，足球和地球组成的系统机械能守恒，故A正确；拉着一个金属块使它沿光滑的圆弧面匀速上升，拉力对金属块做功，金属块和地球组成的系统机械能不守恒，故B错误；跳伞运动员带着张开的降落伞在空气中减速下落，空气阻力对运动员做负功，运动员和地球组成的系统机械能不守恒，故C错误；光滑斜面上运动的小球碰到一个弹簧，把弹簧压缩后又被弹回来，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，但小球的机械能不守恒，故D错误．] 2. (人教版必修第二册 P93第3题改编)(多选)把质量为m的石块从高h的山崖上沿与水平方向成θ角的斜向上的方向抛出(如图所示)，抛出的初速度为v0，石块落地时的速度大小与下面哪些量无关(不计空气阻力)(　　) A．石块的质量　　　 B．石块初速度的大小 C．石块初速度的方向 D．石块抛出时的高度 解析：AC　[以地面为零势能面，石块运动过程中机械能守恒，则mgh＋eq \f(1,2)mveq \o\al(2,0)＝eq \f(1,2)mv2， 即v2＝2gh＋veq \o\al(2,0)，所以v＝eq \r(v\o\al(2,0)＋2gh)， 由此可知，v与石块的初速度大小v0和抛出时的高度h有关，而与石块的质量和初速度的方向无关，故选A、C.] 3．(人教版必修第二册 P94第5题改编)把质量为0.2 kg的小球放在竖立的轻质弹簧上，并将球向下按至A的位置，如图甲所示．迅速松手后，球被弹起并沿竖直方向运动到最高位置C(如图丙所示)，途中经过B的位置时弹簧正好处于自由状态(如图乙所示)．已知B、A的高度差为0.1 m，C、B的高度差为0.2 m，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是(　　) A．从A到C的过程中，小球先加速后减速，在B位置时动能最大 B．从A到C的过程中，小球的机械能守恒 C．从A到C的过程中，小球的动能和弹簧的弹性势能之和保持不变 D．弹簧被压缩到A位置时具有的弹性势能为0.6 J 答案：D 考点一　机械能守恒的理解与判断 1．机械能守恒判断的三种方法 定义法 利用机械能的定义直接判断，分析物体或系统的动能和势能的和是否变化，若不变，则机械能守恒 做功法 若物体或系统只有重力或系统内弹力做功，或有其他力做功，但其他力做功的代数和为零，则机械能守恒 转化法 若物体或系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式能的转化，则机械能守恒 2.机械能守恒条件的理解及判断 (1)机械能守恒的条件绝不是合外力的功等于零，更不是合外力为零；“只有重力或弹力做功”不等于“只受重力或弹力作用”． (2)对于一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等情况，除非题目特别说明，否则机械能必定不守恒． (3)对于系统机械能是否守恒，可以根据能量的转化进行判断．严格地讲，机械能守恒定律的条件应该是对一个系统而言，外力对系统不做功(表明系统与外界之间无能量交换)，系统内除了重力和弹力以外，无其他摩擦和介质阻力做功(表明系统内不存在机械能与其他形式之间的转换)，则系统的机械能守恒． 1．在如图所示的物理过程示意图中，甲图为一端固定有小球的轻杆，从右偏上30°角释放后绕光滑支点摆动；乙图为末端固定有小球的轻质直角架，释放后绕直角顶点的固定轴O无摩擦转动；丙图为置于光滑水平面上的A、B两小车，B静止，A获得一向右的初速度后向右运动，某时刻连接两车的细绳绷紧，然后带动B车运动；丁图为置于光滑水平面上的带有竖直支架的小车，把用细绳悬挂的小球从图示位置释放，小球 开始摆动．则关于这几个物理过程(空气阻力忽略不计)，下列判断中正确的是(　　) A．甲图中小球机械能守恒 B．乙图中小球A的机械能守恒 C．丙图中两车组成的系统机械能守恒 D．丁图中小球的机械能守恒 [解析]　A　[甲图中，小球运动过程中轻杆对小球不做功，小球的机械能守恒；乙图过程中，A、B两球通过杆相互影响(例如开始时A球带动B球转动)，轻杆对A的弹力不沿杆的方向，会对小球做功，所以每个小球的机械能不守恒，但把两个小球作为一个系统时机械能守恒；丙图中，绳子绷紧的过程虽然只有弹力作为内力做功，但弹力突变有内能转化，机械能不守恒；丁图，小球摆动过程中，细绳也会拉动小车运动，取地面为参考系，小球的轨迹不是圆弧，细绳会对小球做功，小球的机械能不守恒，把小球和小车当作一个系统，机械能才守恒．] 2．(2024·保定模拟)如图所示，倾角为θ的光滑斜面体C固定于水平地面上，小物块B置于斜面上，通过细绳跨过光滑的定滑轮与物体A相连接，释放后，A将向下运动，则在A碰地前的运动过程中(　　) A．A的加速度大小为g B．物体A机械能守恒 C．由于斜面光滑，所以物块B机械能守恒 D．A、B组成的系统机械能守恒 解析：D　[物体A向下运动的过程中除受到重力以外，还受到细绳向上的拉力，物体A下落的加速度一定小于g，故A错误；物体A下落过程中，细绳的拉力做负功，A的机械能不守恒，故B错误；由于斜面光滑，A、B组成的系统在整个运动过程中，只有重力做功，系统机械能守恒，但细绳拉力对B做正功，B的机械能增加，故C错误，D正确．] 如图所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m的小球，小球与一轻质弹簧一端相连，弹簧的另一端固定在地面上的A点，已知杆与水平面之间的夹角θ＜45°，当小球位于B点时，弹簧与杆垂直，此时弹簧处于原长．现让小球自C点由静止释放，在小球滑到杆底端的整个过程中，关于小球的动能、重力势能和弹簧的弹性势能，下列说法正确的是(　　) A．小球的动能与重力势能之和保持不变 B．小球的动能与重力势能之和先增大后减小 C.小球的动能与弹簧的弹性势能之和保持不变 D．小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和保持不变 解析：B　[小球与弹簧组成的系统在整个过程中，机械能守恒．弹簧原长时弹性势能为零，小球从C到最低点过程中，弹簧的弹性势能先减小后增大，所以小球的动能与重力势能之和先增大后减小，A项错，B项对；小球的重力势能不断减小，所以小球的动能与弹簧的弹性势能之和不断增大，C项错；小球的初、末动能均为零，所以上述过程中小球的动能先增大后减小，所以小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和先减小后增大，D项错．] 考点二　单个物体机械能守恒的应用 应用机械能守恒定律解题的基本思路 [典例1]　(多选)(2023·湖南卷，8)如图，固定在竖直面内的光滑轨道ABC由直线段AB和圆弧段BC组成，两段相切于B点，AB段与水平面夹角为θ，BC段圆心为O，最高点为C、A与C的高度差等于圆弧轨道的直径2R.小球从A点以初速度v0冲上轨道，能沿轨道运动恰好到达C点，下列说法正确的是(　　) A．小球从B到C的过程中，对轨道的压力逐渐增大 B．小球从A到C的过程中，重力的功率始终保持不变 C．小球的初速度v0＝eq \r(2gR) D．若小球初速度v0增大，小球有可能从B点脱离轨道 [审题指导]　(1)小球沿轨道恰好运动到达C点，说明小球运动到C点的速度为零． (2)小球只在圆弧段的B点有可能因速度过大而脱离轨道． 解析：AD　[A.由题知，小球能沿轨道运动恰好到达C点，则小球在C点的速度为vC＝0， 则小球从C到B的过程中，有mgR(1－cos α)＝eq \f(1,2)mv2， FN＝mg cos α－meq \f(v2,R)， 联立有FN＝3mg cos α－2mg， 则从C到B的过程中α由0增大到θ，则cos α逐渐减小，故FN逐渐减小，而小球从B到C的过程中，对轨道的压力逐渐增大，A正确；B.由于A到B的过程中小球的速度逐渐减小，则A到B的过程中重力的功率为P＝－mgv sin θ， 则A到B的过程中小球重力的功率始终减小，则B错误；C.从A到C的过程中有－mg·2R＝eq \f(1,2)mveq \o\al(2,C)－eq \f(1,2)mveq \o\al(2,0)， 解得v0＝eq \r(4gR)，C错误；D.小球在B点恰好脱离轨道有mgcos θ＝meq \f(v\o\al(2,B),R)， 则vB＝eq \r(gRcos θ)， 则若小球初速度v0增大，小球在B点的速度有可能为eq \r(gRcos θ)，故小球有可能从B点脱离轨道，D正确．故选AD.] ◆[迁移1]　抛体类机械能守恒　 1．如图所示，水平地面与一半径为l的竖直光滑圆弧轨道相接于B点，轨道上的C点位置处于圆心O的正下方．在距地面高度为l的水平平台边缘上的A点，质量为m的小球以v0＝eq \r(2gl) 的速度水平飞出，小球在空中运动至B点时，恰好沿圆弧轨道在该点的切线方向滑入轨道．小球运动过程中空气阻力不计，重力加速度为g，试求： (1)B点与抛出点A正下方的水平距离x； (2)圆弧BC段所对的圆心角θ； (3)小球滑到C点时，对圆轨道的压力． 解：(1)设小球做平抛运动到达B点的时间为t，由已知条件v0＝eq \r(2gl) 及平抛运动规律，l＝eq \f(1,2)gt2，x＝v0t，联立解得x＝2l. (2)由小球到达B点时竖直分速度veq \o\al(2,y)＝2gl， tan θ＝vy/v0，解得θ＝45°. (3)小球从A运动到C点的过程中机械能守恒，设到达C点时速度大小为vC，由机械能守恒定律 mgleq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋1－\f(\r(2),2)))＝eq \f(1,2)mveq \o\al(2,C)－eq \f(1,2)mveq \o\al(2,0) 设轨道对小球的支持力为F，有： F－mg＝meq \f(v\o\al(2,C),l)， 解得：F＝(7－eq \r(2))mg， 由牛顿第三定律可知，小球对圆轨道的压力大小为F′＝(7－eq \r(2))mg，方向竖直向下． 答案：(1)2l　(2)45°　(3)(7－eq \r(2))mg，方向竖直向下 ◆[迁移2]　轻绳摆动类机械能守恒　 2.一半径为R的圆柱体水平固定，横截面如图所示．长度为πR、不可伸长的轻细绳，一端固定在圆柱体最高点P处，另一端系一个小球．小球位于P点右侧同一水平高度的Q点时，绳刚好拉直．将小球从Q点由静止释放，当与圆柱体未接触部分的细绳竖直时，小球的速度大小为(重力加速度为g，不计空气阻力)(　　) A.eq \r(2＋πgR)　　　　　　 B．eq \r(2πgR) C.eq \r(21＋πgR) D．2eq \r(gR) 解析：A　[小球下落的高度为h＝πR－eq \f(π,2)R＋R＝eq \f(π＋2,2)R，小球下落过程中，根据动能定理有mgh＝eq \f(1,2)mv2， 综上有v＝eq \r(π＋2gR)， 故选A.] ◆[迁移3]　轻杆摆动类机械能守恒　 3．如图所示，轻杆长度为L，一端固定一个质量为m的可视为质点的小球，另一端穿过光滑的水平轴O，杆可绕轴O转动．把小球拉至转轴上方的A点，此时轻杆与水平方向的夹角为θ，由静止释放，则小球到达最低点B的速度为多大？其他条件不变，把轻杆换为细绳，则释放后小球到达最低点B的速度为多大？ 解：小球与轻杆相连时，只有重力做功，设小球到达最低点时的速度为vB，根据机械能守恒定律，有mgL(1＋sin θ)＝eq \f(1,2)mveq \o\al(2,B)， 解得vB＝eq \r(2gL1＋sin θ)； 小球与细绳相连时，如图所示， 小球先做自由落体运动到绳拉直位置C，OC与水平方向的夹角为θ，小球在C点时的速度为v1，根据机械能守恒定律，有2mgLsin θ＝eq \f(1,2)mveq \o\al(2,1)， 解得v1＝eq \r(4gLsin θ)； 小球在C点的速度分解为沿绳方向的分量v11和垂直绳方向的分量v12＝v1cos θ，在绳突然拉紧的瞬间，沿绳方向的分量v11消失，损失一部分机械能． 小球由C点做圆周运动到最低点，根据机械能守恒定律，得mgL(1－sin θ)＋eq \f(1,2)mveq \o\al(2,12)＝eq \f(1,2)mvB′2， 解得vB′＝eq \r(2gL1－sin θ＋2sin θcos2θ) 答案：eq \r(2gL1＋sin θ) eq \r(2gL1－sin θ＋2sin θcos2θ) 　如图所示，ABDO是处于竖直平面内的光滑轨道，AB是半径为R＝15 m的eq \f(1,4)圆弧轨道，半径OA处于水平位置，BDO是直径为15 m的半圆轨道，D为BDO轨道的中点．一个小球P从A点的正上方距水平半径OA高H处自由落下，沿竖直平面内的轨道通过D点时对轨道的压力等于其重力的eq \f(14,3)倍，g取10 m/s2. (1)H的大小． (2)试分析此球能否到达BDO轨道的O点，并说明理由． (3)小球沿轨道运动后再次落到轨道上的速度的大小是多少． 解：(1)设小球通过D点的速度为v，由牛顿第二定律得： eq \f(14,3)mg＝meq \f(v2,\f(R,2))， 小球从P点运动至D点的过程，由机械能守恒定律得： mgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(H＋\f(R,2)))＝eq \f(1,2)mv2， 解得：H＝10 m. (2)若小球刚好沿竖直半圆轨道能运动到O点的速度为vC，在O点由牛顿第二定律得：mg＝meq \f(v\o\al(2,C),\f(R,2))， 小球至少应从HC高处落下，由机械能守恒定律得：mgHC＝eq \f(1,2)mveq \o\al(2,C)， 解得：HC＝eq \f(R,4)＝3.75 m， 由于H＞HC，故小球可以通过O点． (3)小球由P点落下通过O点的过程，由机械能守恒定律得：mgH＝eq \f(1,2)mveq \o\al(2,0)， 解得：v0＝10eq \r(2) m/s. 小球通过O点后做平抛运动，设小球经时间t落到AB圆弧轨道上，则有：x＝v0t， y＝eq \f(1,2)gt2，且：x2＋y2＝R2， 解得：t＝1 s(另解舍弃) 又有：vy＝gt， v＝eq \r(v\o\al(2,0)＋v\o\al(2,y))， 解得：v＝10eq \r(3) m/s. 答案：(1)10 m　(2)能，理由见解析 (3)10eq \r(3) m/s 考点三　多物体的机械能守恒问题 1．三种实际情景的分析 (1)速度相等情景 注意分析各个物体在竖直方向的高度变化． (2)①角速度相等情景 a．由v＝ωr知，v与r成正比； b．杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒． ②某一方向分速度相等情景(关联速度情景) 两物体速度的关联实质：沿绳(或沿杆)方向的分速度大小相等． (3)含弹簧情景 a．物体与弹簧相互作用过程中，物体的机械能不守恒； b．物体与弹簧组成的系统机械能守恒． 2．系统机械能守恒问题的解题思路 [典例2]　一半径为R的半圆形竖直圆柱面，用轻质不可伸长的细绳连接的A、B两球悬挂在圆柱面边缘两侧，A球质量为B球质量的2倍，现将A球从圆柱边缘处由静止释放，如图所示．已知A球始终不离开圆柱内表面，且细绳足够长，若不计一切摩擦，求： (1)A球沿圆柱内表面滑至最低点时速度的大小； (2)A球沿圆柱内表面运动的最大位移． 解析：(1)设A球沿圆柱内表面滑至最低点时速度的大小为v，B球的质量为m，则根据机械能守恒定律有2mgR－eq \r(2)mgR＝eq \f(1,2)×2mv2＋eq \f(1,2)mveq \o\al(2,B)， 由图甲可知，A球的速度v与B球速度vB的关系为vB＝v1＝v cos45°， 联立解得v＝2eq \r(\f(2－\r(2),5)gR)； (2)当A球的速度为零时，A球沿圆柱内表面运动的位移最大，设为x，如图乙所示，由几何关系可知A球下降的高度h＝eq \f(x,2R) eq \r(4R2－x2)， 根据机械能守恒定律有2mgh－mgx＝0， 解得x＝eq \r(3)R. 答案：(1)2eq \r(\f(2－\r(2),5)gR)　(2)eq \r(3)R ◆[迁移1]　轻绳连接的物体系统　 1.如图所示，将一表面光滑的半圆柱体固定于水平桌面上，一跨过圆柱表面不可伸长的轻绳分别与甲、乙两个质量不同的小球相连，乙球的质量大于甲球的质量．开始时用手按住甲球位于水平桌面且靠在圆柱侧面，现静止释放甲球，为使甲球能恰好通过圆柱的最高点，球可看成质点，则下列说法正确的是(　　) A．在甲球运动到圆柱顶端前两球速度相同 B．乙球下落过程中机械能守恒 C．当两球质量比满足eq \f(m甲,m乙)＝eq \f(π－1,3)时，甲球能恰好通过圆柱顶端 D．当两球质量比满足eq \f(m甲,m乙)＝eq \f(1,2)时，甲球能恰好通过圆柱顶端 解析：C　[速度是矢量，由甲球与乙球的速度方向不同可知，甲球与乙球在运动到圆柱顶端前速度不相同，故A错误；乙球下落过程中还受到轻绳的拉力，轻绳的拉力对乙球做负功，所以乙球的机械能不守恒，故B错误；假设甲球恰好能通过圆柱的顶端，若使甲球到达最高点，根据机械能守恒定律有：m乙geq \f(πR,2)－m甲gR＝eq \f(1,2)(m甲＋m乙)v2，且甲球恰能通过最高点，需满足m甲g＝eq \f(m甲v2,R)，联立解得： eq \f(m甲,m乙)＝eq \f(π－1,3)；当eq \f(m甲,m乙)＜eq \f(π－1,3)时，甲球在到达最高点之前脱离圆柱，eq \f(m甲,m乙)＞eq \f(π－1,3)，甲球可以顺利通过最高点，故C正确，D错误．] ◆[迁移2]　轻杆连接的物体系统　 2．如图所示，左侧竖直墙面上固定半径为R＝0.3 m的光滑半圆环，右侧竖直墙面上与圆环的圆心O等高处固定一光滑直杆．质量为ma＝100 g的小球a套在半圆环上，质量为mb＝36 g的滑块b套在直杆上，二者之间用长为l＝0.4 m的轻杆通过两铰链连接．现将a从圆环的最高处由静止释放，使a沿圆环自由下滑，不计一切摩擦，a、b均视为质点，重力加速度g取10 m/s2.求： (1)小球a滑到与圆心O等高的P点时的向心力大小； (2)小球a从P点下滑至杆与圆环相切的Q点的过程中，杆对滑块b做的功． 解析：(1)当a滑到与O同高度的P点时，a的速度v沿圆环切线向下，b的速度为零， 由机械能守恒可得：magR＝eq \f(1,2)mav2， 解得：v＝eq \r(2gR)； 对小球a受力分析，由牛顿第二定律可得： F＝eq \f(mv2,R)＝2mag＝2 N； (2)杆与圆环相切时，如图所示，此时a的速度沿杆方向，设此时b的速度为vb，则知va＝vbcos θ 由几何关系可得：cos θ＝eq \f(l,\r(l2＋R2))＝0.8 球a从P到Q下降的高度h＝Rcos θ a、b及杆组成的系统机械能守恒： magh＝eq \f(1,2)maveq \o\al(2,a)＋eq \f(1,2)mbveq \o\al(2,b)－eq \f(1,2)mav2 对滑块b，由动能定理得：W＝eq \f(1,2)mbveq \o\al(2,b)＝0.194 4 J. 答案：(1)2 N　(2)0.194 4 J ◆[迁移3]　轻弹簧连接的物体系统　 3．(多选)如图所示，一根轻弹簧一端固定在O点，另一端固定一个带有孔的小球，小球套在固定的竖直光滑杆上，小球位于图中的A点时，弹簧处于原长，现将小球从A点由静止释放，小球向下运动，经过与A点关于B点对称的C点后，小球能运动到最低点D点，OB垂直于杆，则下列结论正确的是(　　) A．小球从A点运动到D点的过程中，其最大加速度一定大于重力加速度g B．小球从B点运动到C点的过程，小球的重力势能和弹簧的弹性势能之和可能增大 C．小球运动到C点时，重力对其做功的功率最大 D．小球在D点时弹簧的弹性势能一定最大 解析：AD　[在B点时，小球的加速度为g，在BC间弹簧处于压缩状态，小球在竖直方向除受重力外还有弹簧弹力沿竖直方向向下的分力，所以小球从A点运动到D点的过程中，其最大加速度一定大于重力加速度g，故A正确；由机械能守恒定律可知，小球从B点运动到C点的过程，小球做加速运动，即动能增大，所以小球的重力势能和弹簧的弹性势能之和一定减小，故B错误；小球运动到C点时，由于弹簧的弹力为零，合力为重力G，所以小球从C点往下还会加速一段，所以小球在C点的速度不是最大，即重力的功率不是最大，故C错误；D点为小球运 动的最低点，速度为零，小球机械能最小，由小球和弹簧组成的系统运动过程中只有重力做功，系统机械能守恒，所以小球在D点时弹簧的弹性势能最大，故D正确．] 　 (多选)如图，三个质量均为m的小滑块A、B、C通过铰链用长度为L的刚性直杆连接，A套在固定的竖直光滑杆上，B、C间用轻弹簧连接，放在光滑的水平槽中，用手控制A使弹簧处于原长，此时△ABC为正三角形．现将A由静止释放，当A运动到最低点时，∠BAC＝120°.重力加速度大小为g，A、B、C均可视为质点，铰链与直杆的质量均不计，不考虑摩擦影响，整个过程中A、B、C始终在同一竖直平面内，A始终在水平槽上方运动，弹簧在弹性限度内．在A下降的过程中(　　) A．A、B、C组成的系统机械能守恒 B．A、B的速度大小始终相等 C．弹簧弹性势能的最大值为eq \f(\r(3)－1,2)mgL D．当A的速度最大时，C对槽的压力大小为1.5mg 解析：CD　[在A下降的过程中，A、B、C与弹簧组成的系统机械能守恒，该过程中，弹簧的弹性势能增大，A、B、C组成的系统机械能减小，故A错误；设在A下降的某一时刻，刚性直杆与竖直方向间的夹角为θ，则有：vA cos θ＝vB sin θ，解得：vA＝vB tan θ，因θ不断变化，故A、B的速度大小不会始终相等，故B错误；经分析可知，当A运动到最低点时，弹簧的弹性势能最大，根据系统机械能守恒定律可知，弹簧的弹性势能达到最大值时，A、B、C组成的系统机械能最小，则Epm＝mgL(cos30°－cos60°)＝eq \f(\r(3)－1,2)mgL，故C正确；在A下降的过程中， 加速度先减小到零，然后反向增大，当A的加速度为零时，速度最大，设此时槽对C的支持力大小为F，对A、B、C组成的系统，在竖直方向上有：2F＝3mg，解得：F＝1.5mg，根据牛顿第三定律可得，C对槽的压力大小为N＝F＝1.5mg，故D正确．] 　多物体机械能守恒问题的解题思路 非质点类机械能守恒的处理方法 1．主要类型 有质量的杆、绳、链条、水柱等物体的运动． 2．解题关键 这类物体的重力势能由重心的位置决定，确定重心位置是解题的关键． 3．常用方法 当整体重心不易确定时，可分段处理，找出各部分的重心位置，求各段的重力势能． [典例]　如图所示，露天娱乐场空中列车是由许多节完全相同的车厢组成，列车先沿光滑水平轨道行驶，然后滑上一固定的半径为R的空中圆形光滑轨道，若列车全长为L(L＞2πR)，R远大于一节车厢的长度和高度，那么列车在运行到圆形光滑轨道前的速度至少要多大，才能使整个列车完全通过固定的圆形轨道(车厢间的距离不计)． [解析]　当列车进入轨道后，动能逐渐向势能转化，车速逐渐减小，当车厢占满圆形轨道时的速度最小，设此时的速度为v，列车的质量为M， 轨道上的那部分列车的质量M′＝eq \f(M,L)·2πR， 由机械能守恒定律可得：eq \f(1,2)Mveq \o\al(2,0)＝eq \f(1,2)Mv2＋M′gR， 又因圆形轨道顶部车厢应满足：Mg＝Meq \f(v2,R)， 可求得：v0＝ eq \r(gR\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(4πR,L)))). [答案]　eq \r(gR\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(4πR,L)))) 1．如图所示，粗细均匀，两端开口的U形管内装有同种液体、开始时两边液面高度差为h，管中液柱总长度为4h，后来让液体自由流动，当两液面高度相等时，右侧液面下降的速度为(　　) A. eq \r(\f(1,8)gh)　　　　　 B． eq \r(\f(1,6)gh) C. eq \r(\f(1,4)gh) D． eq \r(\f(1,2)gh) 解析：A　[当两液面高度相等时，减少的重力势能转化为整个液体的动能，根据功能关系有eq \f(1,8)mg·eq \f(1,2)h＝eq \f(1,2)mv2，解得：v＝eq \r(\f(1,8)gh)，故A正确．] 2．如图所示，AB为光滑的水平面，BC是倾角为α的足够长的光滑斜面，斜面体固定不动．AB、BC间用一小段光滑圆弧轨道相连．一条长为L的均匀柔软链条开始时静止的放在ABC面上，其一端D至B的距离为L－a.现自由释放链条，则： (1)链条下滑过程中，系统的机械能是否守恒？简述理由． (2)链条的D端滑到B点时，链条的速率为多大？ 解析：(1)链条在下滑过程中机械能守恒，因为斜面BC和水平面AB均光滑，链条下滑时只有重力做功，符合机械能守恒的条件． (2)设链条质量为m，如图，可以认为始、末状态的重力势能变化是由L－a段下降引起的，高度减少量h＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(L－a,2)))sin α＝eq \f(L＋a,2)sin α， 该部分的质量为m′＝eq \f(m,L)(L－a)， 由机械能守恒定律可得：eq \f(m,L)(L－a)gh＝eq \f(1,2)mv2， 可解得：v＝eq \r(\f(g,L)L2－a2sin α). 答案：(1)守恒　理由见解析 (2) eq \r(\f(g,L)L2－a2sin α) $$