高中数学公式及知识点大全（一）集合与简易逻辑、不等式、函数、三角函数、统计、平面向量-2025届高三数学一轮复习

高中数学公式及知识点速记（一） 一、集合与常用的逻辑用语 1、集合 （1）集合与元素 ①集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． ②元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号或表示． ③常见数集的记法： 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 正实数集 符号 N N＋或N* Z Q R R＋ （2）集合间的基本关系 ①子集：集合A中的任意元素都是集合B中的元素，记作 ②真子集：集合，但存在元素，且，记作 ③集合相等：集合A，B中元素相同，记作 ④注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，即； 任何集合都是自身的子集，即A⊆A； 是指不含任何元素的集合，是指以为元素的集合，即． （3）集合的基本运算 ①并集： ②交集： ③补集： （4）集合的有关性质 ①集合的传递性. ②集合的子集个数：若集合中有个元素，则A的子集有个，真子集有个，非空真子集有个． ③等价关系： 2、常用逻辑用语 （1）充分条件与必要条件： 若以集合A的形式出现，以集合B的形式出现，即，则 ①若，则p是q的充分条件 ②若，则p是q的必要条件 ③若，则p是q的充分不必要条件 ④若，则p是q的必要不充分条件 ⑤若，则p是q的充要条件 （2）全称量词命题，存在量词命题，命题的否定及其真假性 ①全称量词命题“，具有性质”的否定，是存在量词命题“，不具有性质” ②存在量词命题“，具有性质”的否定，是全称量词命题“，不具有性质” ③全称量词命题与存在量词命题真假性相反 二、不等式 1、不等式的性质 （1）如果，且，那么 （2）如果，那么 （3）①如果，那么 ②如果，那么 （4）如果，那么 （5）①如果，那么　 ②如果，那么 （6）当时，，其中 当时，，其中 2、基本不等式 ，当且仅当时“”成立 使用条件：一正（都是正数）、二定（是定值或者是定值）、三相等（时等号成立） ①若积是定值，则当时和有最小值 ②若和是定值，则当时积有最大值 3、用不等式解决恒成立、有解问题 ①若对，恒成立，则 ⑤若，使成立，则 ②若对，恒成立，则 ⑥若，使成立，则 ③若对，恒成立，则 ⑦若，使成立，则 ④若对，恒成立，则 ⑧若，使成立，则 三、函数 1、函数的定义 （1）定义域：指使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数的定义域如下： ①分式函数中分母不等于0 ②偶次根式函数的被开方式大于或等于0 ③的定义域是 ④对数函数的真数大于0，指、对数函数的底数大于0且不等于1 ⑤一次函数、二次函数的定义域均为R （2）函数的对应法则：函数的对应法则（也称函数的解析式）是表示函数的一种方式，对于不是y＝f(x)的形 式，求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式 （3）函数的值域：指函数值构成的集合，常见基本初等函数的值域如下： ①反比例函数（为常数且）的值域为 ②一次函数(k为常数且k≠0)的值域为R ③二次函数（a，b，c为常数且） 当时，二次函数的值域为，当时，二次函数的值域为 ④指数函数的值域为 ⑤对数函数的值域为R （4）函数的最值 前提 设函数的定义域为，如果存在实数满足 条件 ①对于任意的，都 ②存在，使得 ①对于任意的，都 ②存在，使得 结论 为最大值 为最小值 注意：①函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在 ②若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值 2、函数的性质 （1）函数的单调性 ①定义法：对且 上是增函数 上是减函数 ②求导法：设函数在区间内可导 若，则在区间上为增函数 若，则在区间上为减函数 ③常用结论 ❶若均为区间A上的增(减)函数，则也是区间A上的增(减)函数 ❷若，则与的单调性相同；若，则与单调性相反 ❸一些重要函数的单调性和图象： 对勾函数 刀锋函数 超越函数 （2）函数的奇偶性 ①对于定义域（定义域需关于原点对称）内任意的，都有，则是偶函数 其图象关于轴对称 ②对于定义域（定义域需关于原点对称）内任意的，都有，则是奇函数 其图象关于原点对称，若奇函数在0处有定义，则 （3）函数的周期性 ①定义：若对于定义域内任意的都有，则是周期函数，其周期为 ②拓展：若对于定义域内任意的都有，则是周期函数，其周期为 若对于定义域内任意的都有，则是周期函数，其周期为 （4）函数的对称性 ①若对于定义域内任意的都有，则函数有对称轴，其方程为 ②若对于定义域内任意的都有，则函数有对称中心，其坐标为 3、指数函数 （1）分数指数幂 （，且） （，且） （2）根式的性质 当为奇数时， 当为偶数时， （3）有理指