精品解析：北京市丰台区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（A卷）

2024北京丰台高一（下）期中 数学（A卷） 考试时间：120分钟 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题：本部分共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出最符合题意的一项． 1. 在复平面内，下列复数中对应点在第四象限的是（ ） A. 1＋i B. 1－i C. －1＋i D. －1－i 2. 已知向量满足，，且与夹角为30°，那么等于（　　） A. 1 B. C. 3 D. 3. 已知向量，，且，那么x的值是（　　） A. B. 3 C. D. 4. 在中，，，，则（ ） A. B. C. 7 D. 13 5. 已知向量与向量的夹角为，且，则（　　） A. 4 B. 3 C. D. 1 6. 如图，在中，为边上的中线，若为的中点，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角A，B，C的对边分别为，若，则的形状为 A. 正三角形 B. 等腰三角形或直角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 8. 如图是一个圆柱与圆锥的组合体的直观图（圆锥的底面与圆柱的上底面重合），已知圆锥的高为，圆柱的高为2，底面半径为1，则该组合体的体积为（ ） A. B. C. D. 9. 设为非零向量，则与的夹角的最大值为（ ） A B. C. D. 10. 在2023年3月12日马来西亚吉隆坡举行的Yong Jun KL Speedcubing比赛半决赛中，来自中国的9岁魔方天才王艺衡以4.69秒的成绩打破了“解三阶魔方平均用时最短”吉尼斯世界纪录称号.如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层转动了之后，表面积增加了（ ） A. 54 B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 已知复数，则________，_________． 12. 体积为的球的表面积是__________. 13. 如图，在的方格中，已知向量的起点和终点均在格点，且满足向量，那么______． 14. 如图，边长为2的正方形ABCD中，点满足，则_______；若点H是线段AP上的动点，则的取值范围是_________． 15. 设为平面内的任意两个向量，定义一种向量运算“”：对于同一平面内的向量，给出下列结论： ①；②； ③；④若是单位向量，则． 以上所有正确结论的序号是______． 三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知复数为虚数单位． （1）若，求的值； （2）若为实数，求的值． （3）若在复平面上对应的点在第一象限，求的取值范围． 17. 已知向量． （1）求； （2）求向量夹角的余弦值； （3）若与平行，求实数的值． 18. 已知向量是夹角为的单位向量，且． （1）求； （2）求的值； （3）求向量与的夹角． 19. 在中，角的对边分别为，，，． （1）求的值； （2）求的面积． 20. 在中，角对边分别为，． （1）求； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分． 21. 已知向量，其中是两两不相等的正整数．记，，其分量之间满足递推关系 ，，，，． （1）当时，直接写出向量； （2）证明：不存，使得中； （3）证明：存在，当时，向量满足． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024北京丰台高一（下）期中 数学（A卷） 考试时间：120分钟 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题：本部分共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出最符合题意的一项． 1. 在复平面内，下列复数中对应的点在第四象限的是（ ） A. 1＋i B. 1－i C. －1＋i D. －1－i 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数对应点所在象限确定正确答案. 【详解】对应坐标为，在第一象限，不符合题意. 对应坐标为，在第四象限，符合题意，B选项正确. 对应坐标为，在第二象限，不符合题意. 对应坐标为，在第三象限，不符合题意. 故选：B 2. 已知向量满足，，且与夹角为30°，那么等于（　　） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用平面向量的数量积公式，即可求得本题答案. 【详解】， 故选：C 3. 已知向量，，且，那么x的值是（　　） A. B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量垂直则数量积等于0，则得到方程，解出即可. 【详解】因