特训07 期末解答压轴题（四大模块，重点剖析本学期新高考压轴新题型）-2023-2024学年高一数学下学期期中期末挑战满分冲刺卷（人教A版2019必修第二册，浙江专用）

特训07 期末解答压轴题（四大模块） 目录： 模块1：立体几何初步 模块2：平面向量 模块3：解三角形 模块4：重点剖析本学期新高考压轴新题型 模块1：立体几何初步 1．如图，在正四棱台中，，，，为棱，的中点，棱上存在一点，使得平面．    (1)求； (2)当正四棱台的体积最大时，证明：平面． 2．已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面． (1)求证：平面； (2)已知， （ⅰ）当时，求直线与所成角的余弦值； （ⅱ）当直线与平面所成的角为时，求四棱锥的体积． 3．几何体是四棱锥，为正三角形，，，为线段的中点. (1)求证：平面； (2)线段上是否存在一点，使得四点共面？若存在，请求出的值；若不存在，并说明理由. 4．如图，ABDC是平面四边形，为正三角形，，．将沿BC翻折，过点A作平面BCD的垂线，垂足为H．    (1)若点H在线段BD上，求AD的长； (2)若点H在BCD内部，且直线AB与平面ACD所成角的正弦值为，求二面角的余弦值． 5．如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，平面平面，，．    (1)当时，求异面直线与所成角的余弦值； (2)若存在球与三棱柱各个面都相切，求的正弦值． 6．如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，经过，，三点的平面记为平面，点是侧面内的动点，且.    (1)设平面，求证：； (2)平面将正方体分成两部分，求这两部分的体积之比（其中）； (3)当最小时，求三棱锥的外接球的表面积. 7．在棱长均为的正三棱柱中，为的中点．过的截面与棱，分别交于点，． （1）若为的中点，求三棱柱被截面分成上下两部分的体积比； （2）若四棱锥的体积为，求截面与底面所成二面角的正弦值； （3）设截面的面积为，面积为，面积为，当点在棱上变动时，求的取值范围． 模块2：平面向量 8．边长为4的正方形的中心为，以为圆心的单位圆上有两动点满足.若点为正方形边上的一个动点. (1)求的值； (2)求的最小值； (3)若，求的最大值. 9．在中，，，若是的中点，则；若是的一个三等分点，则；若是的一个四等分点，则 (1)如图①，若，用，表示，你能得出什么结论？并加以证明． (2)如图②，若，，与交于，过点的直线与，分别交于点，． ①利用（1）的结论，用，表示； ②设，，求的最小值． 10．在平面四边形中，对角线和交于点，分别延长和交于点，连接并延长交于点. (1)如图（1），若四边形为圆的内接四边形，， （i）求的长； （ii）求的值； (2)如图（2），若的面积等于3，当取最小值时，求的面积. 11．设是边长为1的正三角形，点四等分线段（如图所示）． （1）求的值； （2）为线段上一点，若，求实数的值； （3）为边上一动点，当取最小值时，求的值． 12．已知向量令. (1)求函数的对称轴方程； (2)设，当时，求函数的最小值； (3)在（2）的条件下，若对任意的实数且，不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 模块3：解三角形 13．已知是内一点，. (1)若是的外心，求的余弦值； (2)若是的垂心，是平面外一点，且平面，当四面体外接球体积最小时，求的值. 14．已知锐角中，内角，，的对边分别为，，，若，且， (1)求； (2)若为边上的高，过点分别作边、的垂线，垂足分别为、， （ⅰ）求证：； （ⅱ）求的最大值． 15．在斜三角形中，角，，的对边分别为，，，已知. (1)求的值； (2)若，求的最小值. 16．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. (1)求角C的大小； (2)若D是边AB的三等分点（靠近点A），.求实数t的取值范围. 17．如图1，某景区是一个以C为圆心，半径为的圆形区域，道路成60°角，且均和景区边界相切，现要修一条与景区相切的观光木栈道，点分别在和上，修建的木栈道与道路，围成三角地块.（注：圆的切线长性质：圆外一点引圆的两条切线长相等）.    (1)当为正三角形时，求修建的木栈道与道路围成的三角地块面积； (2)若的面积，求木栈道长； (3)如图2，若景区中心与木栈道段连线的. ①将木栈道的长度表示为的函数，并指出定义域； ②求木栈道的最小值. 模块4：重点剖析新高考压轴新题型 18．现定义“维形态复数”：，其中为虚数单位，，. (1)当时，证明：“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系； (2)若“2维形态复数”与“3维形态复数”相等，求的值； (3)若正整数，，满足，，证明：存在有理数，使得. 19．我们把（其中）称为一元次多项式方程.代数基本定理：任何一元次复系数多项式方程（即为实数）在复数集内至少有一个复数根；由此推得，任何一元次复系数多项式方程在复数集内有且仅有个复数根（重根按重数计算）.那么我们由代数基本定理可知：任何一元次复系数多项式在复数集内一定可以分