8.6.3平面与平面垂直课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.6 空间直线、平面的垂直 第八章 立体几何初步 8.6.3 平面与平面的垂直 一 二 三 学习目标 理解面面所成的角定义、二面角的定义 理解与掌握面面垂直的判定定理 结合对面面垂直判定定理的探究，深入理解空间集合中位置关系的判定方法 学习目标 复习回顾 问题2 直线与直线垂直定义是什么？ 异面直线 相交直线 问题3 直线与平面垂直定义是什么？ 我们该如何研究平面与平面垂直呢？ 类比直线与直线，直线与平面垂直的定义，先要定义两个平面所成的角. 在日常生活中，有很多平面与平面相交的例子． 新知探究 半平面 平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面 直线将平面分成两部分，每一部分叫半平面． 半平面 半平面 典例解析 二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 这条直线叫做二面角的棱． 这两个半平面叫做二面角的面 记作： A B P Q 问题1 如图,在日常生活中,我们常说把门开大一些,是指哪个角大一些? 受此启发,你认为应该怎样刻画二面角的大小呢? 新知探究 A B O l A′ B′ O′ α β 二面角的平面角 在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足 在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB 射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角 二面角的平面角必须满足： ③角的边都要垂直于二面角的棱 ①角的顶点在棱上 ②角的两边分别在两个面内 新知探究 问题2 在棱上选多个点，画出多个所折二面角的一个平面角，这些角相等吗？ α β B 。 O A B1 。 O1 A1 依据等角定理 追问 哪个定理能解释为什么这些角都是相等的吗？ 二面角的大小是用它的平面角来度量的. 二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度. 新知探究 二面角的范围 因此，二面角的平面角的取值范围为__________. α(β) l A(B) O 当∠AOB=0°，即二面角的平面角为0°时，表示二面角的两个半平面重叠成一个半平面. 当∠AOB=180°，即二面角的平面角为180°时，表示二面角的两个半平面展开成一个平面. α β l A B O 注意区分各种角的取值范围： 异面直线所成角：___________，线面角：____________. 新知探究 [ 0, π] 如图示，当∠AOB=90°，即二面角的平面角为直角时，我们把这种二面角角叫做直二面角. α β l A B O 概念生成 两平面垂直 定义：一般地， 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 若平面α与β垂直，记作α⊥β 如下图，画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行 四边形的一组边画成垂直． 在明确两个平面互相垂直的定义的基础上，我们来研究两个平面垂直的判定和性质。 新知探究 观察 如图，建筑工人砌墙时，如何使所砌的墙和水平面垂直？从中你能得到什么启发？ 猜想：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 已知：AB⊥β，AB α. 求证：α⊥β. ∪ 证明： 在平面β内过B点作直线BE⊥l， 设α∩β=l, ∪ ∵AB⊥β，BE β， ∴AB⊥BE. ∵AB⊥β，l β， ∴AB⊥l. ∪ 则∠ABE就是二面角α-l-β的平面角， ∴二面角α-l-β是直二面角， ∴α⊥β. 新知探究 α β l A B E 概念生成 平面与平面垂直的判定定理： 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直. 符号表示： b 线面垂直面面垂直 例 已知：如右图, 正方体ABCD-A'B'C'D'. 求证：平面A'BD⊥平面ACC'A'. ∵ABCD-A'B'C'D'是正方体， ∴AA'⊥平面ABCD. 又BD平面ABCD，∴AA'⊥BD. 又AC⊥BD，AC∩AA'=A， ∴BD⊥平面ACC'A'， 又BD平面A'BD， ∴平面A'BD⊥平面ACC'A'. 证明： 典例解析 巩固练习 课本P159 ∵ABC-A'B'C'是正三棱柱，∴AA'⊥平面ABC. 又BD平面ABC，∴AA'⊥BD. ∵△ABC是正三角形，且D是AC的中点，∴ AC⊥BD， 又AC∩AA'=A，∴BD⊥平面ACC'A'， 又BD平面BDC'，∴平面BDC'⊥平面ACC'A'. 证明： B D C A′ B′ C′ A 4. 如图，在正三棱柱ABC-A′B′C′中，D是棱AC的中点. 求证