专题08 函数的奇偶性、对称性和周期性（九大考点+二个易错点+精准训练）-2025年高三数学一轮考点剖析及精准训练

专题08函数的奇偶性、对称性和周期性 一、函数的奇偶性 1．函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于原点对称 注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是： 对于定义域内的任意一个x，也在定义域内（即定义域关于原点对称）． 2．函数奇偶性的几个重要结论 （1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反； （2），在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 （3）若奇函数的定义域包括，则． （4）若函数是偶函数，则． （5）掌握一些重要类型的奇偶函数： ①函数为偶函数，函数为奇函数． ②函数（且）为奇函数． ③函数（且）为奇函数． ④函数（且）为奇函数． 二、函数的周期性 1．周期函数 对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期． 2．函数周期性的常用结论 设函数，. ①若，则函数的周期为；②若，则函数的周期为； ③若，则函数的周期为 三、函数的对称性 1．函数自身的对称性 （1）函数的图像关于点对称的充要条件是： ，即； （2）函数的图像关于直线对称的充要条件是： ，即。 2．不同函数对称性 （1）函数与的图像关于直线成轴对称。 （2）互为反函数的两个函数关于直线对称。 考点01 判断函数的奇偶性 【例1】（多选）下列函数是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【例2】写出一个同时具有下列性质①②③的函数： ， ①；②当时，为增函数；③为R上偶函数. 【变式1-1】（多选）下列函数中为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】函数是 函数.（填“奇”或“偶”或“非奇非偶”或“既奇又偶”）. 【变式1-3】判断函数且的奇偶性 考点02 根据奇偶求解析式 【例3】已知函数是奇函数，则时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【例4】已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（    ） A．1 B．3 C． D． 【变式2-1】已知为偶函数,当时，，当时，求解析式. 【变式2-2】已知函数为奇函数，当时，，当时，的表达式为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知为奇函数，为偶函数，且满足，则=（    ） A． B． C． D． 考点03 利用奇偶求函数值或参数 【例5】若函数是定义在R上的奇函数，则（    ） A．3 B．2 C． D． 【例6】已知函数是偶函数，则实数 . 【变式3-1】已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值为 . 【变式3-2】若定义在上的奇函数满足：当时，，则 . 【变式3-3】已知函数为奇函数，且最大值为1，则函数的最大值和最小值的和为 . 考点04 利用奇偶和单调解不等式 【例7】已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【例8】已知函数是偶函数，若在上单调递增，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知，则满足的实数的取值范围是 . 【变式4-2】设奇函数的定义域为．若当时，的图象如图，则不等式的解集是 ． 【变式4-3】设是定义在上的奇函数，对任意，，且，都有，且，则不等式的解集为 ． 考点05 利用奇偶和单调解不等式（需构造新函数） 【例9】已知函数是定义在上的奇函数，若，且，都有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【例10】已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知是定义在R上的偶函数，若、且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】已知奇函数的定义域为，且有，，若对，，都有，则不等式的解集为 ． 考点06 函数的周期性 【例11】已知定义在上的函数满足，当时，，则（    ） A．1 B．2 C． D．-2 【例12】设是周期为2的奇函数，当时，，则时，＝ ． 【变式6-1】已知函数是定义在上的偶函数，且，若当