第十九章 【专题】一次函数背景下的几何探究综合应用问题-2023-2024学年八年级数学下册重难点培优及章末梳理与检测（人教版）

【专题】一次函数背景下的几何探究综合应用问题 本专题是在一次函数背景下探究：线段长度问题、几何图形面积问题、几何图形变换问题、线段和差的最值问题、特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题。该专题属于中考题型，综合性较强，常需要借助全等三角形、勾股定理、平行四边形、矩形、菱形、正方形等知识解决. 一、一次函数背景下的线段长度问题 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，两点；过点作直线与轴交于点，交直线于点，且点的横坐标为． (1)直接写出点，点的坐标； (2)求的面积； (3)如图2，若点是线段上一动点，连接，过点作交直线于点，判断线段与的数量关系，并说明理由． 2．在平面直角坐标系中，线段的端点分别为，． (1)求所在直线的表达式． (2)如图，点，，点从点沿以每秒2个单位长度的速度运动到点，设运动时间为秒． ①连接，，当的周长最短时，求点的坐标； ②当直线与线段有交点时，直接写出的取值范围． 3．如图，已知在平面直角坐标系中，，，连接． (1)求所在直线的表达式； (2)从点处发射激光． ①当激光轴时，与交于点Q，求线段的长度； ②已知所在直线的表达式为，请直接写出激光与线段（不含端点）有交点时m的取值范围． 4．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交，轴于点，，在轴负半轴有一点C，满足，作直线，点D是y轴正半轴上的一个动点． (1)求直线的函数表达式； (2)过点D作y轴的垂线，分别交直线，于点，，若，求点D的坐标； (3)如图2，连接，将沿直线进行翻折，翻折后点O的对应点为点E，连接，若为直角三角形，求的长度． 5．如图1，已知矩形的顶点A在正比例函数位于第一象限的图象上，顶点D在正比例函数位于第一象限的图象上，点B、C在x轴的正半轴上，且满足． 　　　 (1)试求k的值： (2)当时，点P是函数位于第一象限图象上的一个动点，若为等腰三角形，求点P的坐标： (3)如图2，当时，点E、F为边上的两个动点，且，试问：是否存在点E使四边形的周长最小？若存在，试求点E的坐标；若不存在，请说明理由． 二、一次函数背景下的图形面积问题 6．如图在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点在线段和射线上运动． (1)求直线的函数关系式； (2)求的面积； (3)是否存在点，使的面积与的面积相等？若存在求出此时点的坐标；若不存在，说明理由． 7．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点．    (1)求直线的解析式． (2)求的面积． (3)动点M在线段和线段上运动，是否存在点M，使的面积是的面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图1，点的坐标是，垂直于轴于点，是直线在第一象限上的动点，交轴于点．    (1)求当点的坐标为时， ①求直线的解析式； ②求的面积； ③为坐标轴上一点，且是以为底边的等腰三角形，请直接写出点的坐标． (2)如图2，是线段上一点，且，取的中点，求的面积． 三、一次函数背景下的图形变换问题 9．如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C是y轴上一点，若线段沿直线折叠后，刚好落在x轴上处，则直线的解析式为 ． 10．如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于点，，点C为x轴正半轴上一点，连接，将沿所在直线折叠，点B恰好与y轴上的点D重合． (1)求直线对应的函数表达式； (2)P为直线上一点，，求点P的坐标； (3)若点Q在x轴上，且为等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． 11．如图，平面直角坐标系中，把矩形沿对角线所在的直线折叠，点A落在点D处，与交于点E．的长满足式子． (1)求点A，C的坐标； (2)求出点E的坐标和直线的函数解析式； (3)F是x轴上一点，在坐标平面内是否存在点P，使以O，B，P，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 12．如图，在直角坐标系中，长方形纸片的边，点B坐标为，若把图形按如图所示折叠，使B、D两点重合，折痕为． (1)求证：为等腰三角形； (2)求三角形面积； (3)求的函数表达式． 四、一次函数背景下的线段和差最值问题 13．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点M是线段的中点，点N是线段的中点，P是x轴上一个动点，则的值最小时P点的坐标是 ． 14．在学习一元一次不等式与一次函数中，小明在同一个坐标系中分别作出了一次函数和的图象，分别与轴交于点B、A，两直线父于点．已知点，，观察图象并回答下列问题：    (1)关于的方程的解是______；关于的不等式的解集是______； (2)关于的不等式组的解集为______； (3)若点， ①求关于的不等式的解集是______； ②的面积为______； ③在轴上找一点