专题20 任意角和弧度制及三角函数的概念-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）

专题20 任意角和弧度制及三角函数的概念（新高考专用） 目录 【知识梳理】 2 【真题自测】 3 【考点突破】 4 【考点1】象限角及终边相同的角 4 【考点2】弧度制及其应用 6 【考点3】三角函数的定义及应用 8 【分层检测】 9 【基础篇】 9 【能力篇】 12 【培优篇】 13 考试要求： 1.了解任意角的概念和弧度制的概念. 2.能进行弧度与角度的互化. 3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 知识梳理 1.角的概念的推广 (1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形. (2)分类 (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}. 2.弧度制的定义和公式 (1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad. (2)公式 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝° 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 3.任意角的三角函数 (1)定义 前提 如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y) 定义 正弦 y叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝y 余弦 x叫做α的余弦函数，记作cos α，即cos α＝x 正切 叫做α的正切函数，记作tan α，即tan α＝(x≠0) 三角函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数 (2)定义的推广 设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α＝；cos α＝，tan α＝(x≠0). 1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦. 2.角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用. 3.象限角 4.轴线角 真题自测 一、单选题 1．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（    ） A． B． C． D． 2．（2022·全国·高考真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（2023·北京·高考真题）已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为 ， ． 4．（2023·全国·高考真题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ．    5．（2023·全国·高考真题）若，则 ． 6．（2021·北京·高考真题）若点关于轴对称点为，写出的一个取值为 ． 考点突破 【考点1】象限角及终边相同的角 一、单选题 1．（23-24高一下·河南·阶段练习）如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（    ） A． B． C． D． 2．（2022·全国·模拟预测）已知角第二象限角，且，则角是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 二、多选题 3．（23-24高一上·吉林长春·期末）下列说法正确的是（    ） A．“为第一象限角”是“为第一象限角或第三象限角”的充分不必要条件 B．“，”是“”的充要条件 C．设，，则“”是“”的充分不必要条件 D．“”是“”的必要不充分条件 4．（22-23高二下·吉林长春·期末）下列说法正确的是（    ） A．轴截面为等腰直角三角形的圆锥，其侧面展开图的圆心角的弧度数为 B．若，则 C．已知为锐角，，角的终边上有一点，则 D．在范围内，与角终边相同的角是和 三、填空题 5．（2022·河南开封·三模）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于直线对称.若，则 . 6．（2022·全国·模拟预测）已知的顶点为坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边在第二象限，，则的值为 ． 反思提升： (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角. (2)确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法 先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在的位置. 【考点2】弧度制及其应用 一、单选题 1．（2023·陕西安康·三模）羽毛球运动是一项全民喜爱的体育运动，标准的羽毛球由16根羽