奔驰定理及三角形五心性质的证明及应用-高考数学试题方法研究增补

高中数学：奔驰定理及三角形五心性质的证明及应用 掌握好奔驰定理及三角形五心性质能轻松解决很多平面向量相关问题。本文将给出奔驰定理及三角形五心性质的详细的证明过程，并结合例题深刻理解奔驰定理及三角形五心性质的应用。 一、奔驰定理及其证明 奔驰定理：已知P为△ABC内任意一点，则有 由于其图形形状酷似奔驰车标被戏称为奔驰定理。 奔驰定理的证明： 奔驰定理的证明方法有很多种，今天我只讲其中一种。 延长AP交BC于点Q，如上右图。则有 则有 即 二、五心性质的证明 设三角形的∠A、∠B、∠C所对边分别为a、b、c，三角形内接圆半径为r，外接圆半径为R。 1、三角形内心：三角形内切圆圆心或三角形内角平分线的交点 【证明】由奔驰定理知： 即 由正弦定理可得 2、 三角形的外心：三角形外接圆圆心或三角形三条边中垂线的交点，此时PA=PB=PC=R 证明：（同弧所对圆心角是圆周角的一半） 同理有， 代入奔驰定理易得： 3、三角形的重心：三角形三条中线的交点 【证明】因为重心到顶点与到对边中点比为2：1 可知AP=2PQ ∴ 代入奔驰定理可得： 4、三角形的垂心：三角形三条垂线的交点 【证明】如图P为三角形的垂心，则有 而 由此，我们可以继续推理得： 代入奔驰定理可得： 5、 旁心：三角形旁切圆的圆心,简称为三角形旁心，它是三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线的交点。 由于旁切圆的性质高考较少涉及，我们这里不作证明，如果您想了解，可以参考三角形内心的性质证明方法，稍加改动即可。 例1、已知P是△ABC内部一点，并且满足，△BPC的面积为S1，△ABC的面积为S2，则（ ） 【答案】 【解析】【法一 普通解法】 分别取AC，BC的中点D、E， 即P、D、E三点共线且，则有 由于D为AC的中点，所以 【法二 奔驰定理】解法二（）： 根据奔驰定理 易得： 而 例2、若点P在△ABC内部，且有，设，那么实数λ=（ ），μ=（ ） 【答案】 【解析】 解得： 例3、 若点P在△ABC中，P为内心，AC=2，BC=3,AB=4，且有，则λ+μ=（ ） 【答案】 【解析】 因为P是内心， （设a=BC,b=AC,c=AB） 则有： 解得： 跟踪练习 1、【三角形的重心】点是所在平面内一点且，在内任取一点，则此点取自内的概率是（ ） A． B． C． D． 2、下列关于平面向量的说法中不正确的是（ ） A．已知，均为非零向量，则存在唯-的实数，使得 B．若向量，共线，则点，，，必在同一直线上 C．若且，则 D．若点为的重心，则 3、若是内部一点，且满足，则与的面积比为_______. 4、已知P为△ABC内部一点，则△APB，△APC，△BPC的面积之比为______________. 1、【答案】B 【解析】设是中点，因为，所以， 所以、、三点共线且点是线段的三等分点， 故，所以此点取自内的概率是．故选B. 2、【答案】BC 【解析】对于选项A，由平面向量平行的推论可得其正确； 对于选项B，向量，共线，只需两向量方向相同或相反即可，点，，，不必在同一直线上，故B错误； 对于选项C，，则，不一定推出，故C错误； 对于选项D，由平面向量中三角形重心的推论可得其正确. 故选BC 3、【答案】 【解析】 取的中点为，则 即，则点为的重心 根据重心的性质可得，点到的距离是点到的距离的 则 4、【答案】5：3：2 【解析】可直接利用本文结论 法二：∵所以设F为AC中点，G为BC中点，则 ∴所以F，P，G三点共线，且，GF为△ABC的中位线，设分别为△APC和△BPC在PC边上的高，所以因为，所以△APB，△APC，△BPC的面积之比为5:3:2 学科网（北京）股份有限公司 $$