第06讲 代数式的恒等变形-冲刺2024年中考数学二轮复习重难点专题突破（全国通用）

第6讲 代数式的恒等变形（原卷版） 第一部分 典例剖析+针对训练 类型一 配方法求代数最值 【典例1】已知实数m，n满足m﹣n2＝1，则代数式m2+2n2+4m﹣2的最小值等于 　 　． 【针对训练】 1．若m，n是方程x2﹣2ax+1＝0且a≥1的两个实数根，则（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值是　 　． 2．（2023秋•南通期中）请同学们运用公式（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc解决问题：已知a，b，c满足a2+b2+c2＝6，则（a+b）2+（b+c）2+（c+a）2的最小值为 　 ． 3．（2022秋•如东县期末）已知实数a，b满足a﹣b2＝4，则代数式3a﹣a2﹣b2的最大值为（　　） A．﹣4 B．﹣5 C．4 D．5 类型二 公式变形求值 【典例2】阅读下列材料并解答下面的问题： 利用完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2，通过配方可对a2+b2进行适当的变形，如：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab或a2+b2＝（a﹣b）2+2ab，从而使某些问题得到解决． 例：已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值． 解：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×3＝19． 通过对例题的理解解决下列问题： （1）已知a﹣b＝2，ab＝3，求a2+b2的值； （2）若，求的值； （3）若n满足（n﹣2024）2+（2023﹣n）2＝1，求式子（n﹣2024）（2023﹣n）的值． 【针对练习】 1．已知实数x、y满足x+y＝7，xy＝10且x＞y，求x﹣y的值 解：∵x+y＝7 xy＝10∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝49 ∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝49﹣2×10＝29 ∴（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝29﹣2×10＝9 又∵x＞y ∴x﹣y3 仿照上面的解题过程 请解答下列问题 （1）已知实数a、b满足a+b＝3，ab＝10且a＞b，求a﹣b的值； （2）已知a、b满足且，求的值． 类型三 利用函数图像上点的坐标特征求代数式的值 【典例3】若直线y＝k（x﹣1）+2经过点（a，b+3）和（a+1，3b﹣1），则代数式k2﹣4kb+4b2的值为　 　． 【针对练习】 1．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx（k＞0）与双曲线y交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，则x1•y2的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 2．定义：若实数x，y满足x2＝y+t，y2＝x+t，且x≠y，t为常数，则称点（x，y）为“轮换点”．例如，点（1，﹣2）满足：12＝﹣2+3，（﹣2）2＝1+3，则点（1，﹣2）是“轮换点”．已知：在直角坐标系xOy中，点A（m，n）． （1）A1（3，﹣2）和A2（2，﹣3）两点中，点 　 　是“轮换点”； （2）若二次函数上有且仅有一个“轮换点”，且满足：①当x＝1时，y＝8，②b2﹣4ac＝1，求二次函数解析式； （3）若点A是“轮换点”，用含t的代数式表示m•n，并求t的取值范围． 类型四 根据一元二次方程根的定义及根与系数关系求代数式的值 【典例4】若ab≠1，且有5a2+2001a+9＝0及9b2+2001b+5＝0．求，a的值． 【针对练习】 1．已知：m2﹣2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0且mn≠1，求的值． 2．数学项目化学习课上，小白和小青在讨论许老师出的一道求值问题： 已知非零实数a，b同时满足等式x2+4x＝y+4，y2+4y＝x+4，求的值． 小白：哈哈！x＝y结果为正数． 小青：x，y不一定相等哦． 结合他们的对话，请解答下列问题： （1）当x＝y时， ①求x的值． ②求的值． （2）若x≠y，则　 ． 类型五 利用基本不等式求最值 【典例5】（2023春•泗阳县期中）由完全平方公式：（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab可得a2+b2≥2ab，若a2+b2＝4，则（a﹣b）2的最小值为 　 　． 【针对训练】 1．（2020•浙江自主招生）已知实数x、y满足关系式xy﹣x﹣y＝1，则x2+y2的最小值为 　 　． 第2部分 专题提优练习 1．已知2a﹣3b+1＝0，则代数式6a﹣9b+1＝　 　． 2．若|a+b|+（2﹣b）2＝0，则ab＝　 　． 3．已知m，n是方程x2﹣2x﹣2016＝0的两个实数根，则n2+2m的值为于（　　） A．1010 B．2012 C．2016 D．2020 4．已知x＝m时，多项式x2+2x+n2的值为﹣1，则x＝﹣m时，该多项式的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．3 5．（2022秋•南通期末）已知m，n均为正整数且满足mn﹣3m﹣2n﹣24＝0，则m+n的最大值是（　　） A．16 B．22 C．34 D．36 6．（2023秋