第12讲 构造辅助圆的技巧-冲刺2024年中考数学二轮复习重难点专题突破（全国通用）

第12讲 构造辅助圆的技巧（原卷版） 第一部分 模型解读+典例剖析 类型一 定点定长构造圆 模型解读： 如图，若OA＝OB＝OC＝OD，则点A，B，C，D在以O为圆心、OA长为半径的圆上 （本质是依据圆的定义：圆是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合）. 【典例1】如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，且∠CAD＝3∠BAC，若∠DBC＝42°，则∠CAD＝　 　，∠BDC＝　 　． 【典例2】（2021•增城区一模）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E是AB的中点，点F是边AD上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A′EF，则线段A′C的最小值是 　 　． 类型二 四点共圆构造圆 模型解读： 1. 如图①，四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，则点A，B，C，D在同一个圆上， 此时AC为四边形ABCD的外接圆⊙O的直径. 2. 如图②，四边形ABCD中，∠ACD＝∠ABD＝90°，则点A，B，C，D在同一个圆上， 此时AD为四边形ABCD的外接圆⊙O的直径. 3. 如图③，AB为△ABC和△ABD的公共边，点C，D在AB的同侧，且∠C＝∠D， 则点A，B，C，D在同一个圆上. 【典例3】（2021秋•鼓楼区期末）如图，在△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，F是BC的中点． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）若∠A＝60°，DE＝2，求BC的长． 【典例4】（2022秋•东港市期中）如图，在矩形ABCD中，AB，AD＝2，对角线AC，BD交于点O，过点O作OE⊥BD交BC于点E，则BE的长为（　　） A． B．1.5 C．1 D． 【典例5】（2020春•泰兴市校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝45°，∠B＝60°，BC为1，点P为边AB上一动点，过点P作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，则DE的最小值为　 ． 类型三 定弦定角构造圆 模型解读： 在△ABC中，∠C为定角α，所对的弦AB长是定长，如图①，当∠C为锐角时，点C 在以点O为圆心、圆心角为（360°－2α）的优弧ACB上运动（点O，C在AB同侧）； 如图②，当∠C＝90°时，点C在以AB为直径的圆上运动；如图③，当∠C为钝角时， 点C在以点O为圆心、圆心角为（360°－2α）的劣弧AB上运动. 【典例6】（2023•菏泽）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝5，AD＝4，AD＜BC，点E在线段BC上运动，点F在线段AE上，∠ADF＝∠BAE，则线段BF的最小值为 　 　． 【典例7】（2022秋•定海区期中）如图，△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝45°，D为△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，直线BD交⊙O于P点，交BC于E点，，则AD的最小值为 　 　． 第二部分 专题提优训练 1．（2021秋•如皋市期中）如图，△ABC为等边三角形，AB＝3．若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为（　　） A．1.5 B． C． D．2 2．（2022秋•长沙县校级月考）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∠CPB＝∠A，过点C作CP的垂线，与BP的延长线交于点Q，则CQ的最大值为（　　） A．4 B．5 C． D． 3．（2023•雁塔区校级一模）如图，点A是直线y＝﹣x上的动点，点B是x轴上的动点，若AB＝2，则△AOB面积的最大值为　 ． 4．（2022春•望花区校级月考）如图，AB＝4，O为AB的中点，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一动点，以PB为直角边的等腰直角三角形PBC（点P、B、C按逆时针方向排列），则线段AC的长的取值范围为 　 　． 5．（2022春•瑞金市期中）如图，已知正方形ABCD的边长为6，点F是正方形内一点，连接EF，DF，且∠ADF＝∠DCF，点E是AD边上一动点，连接EB，EF，则EB+EF长度的最小值为 　 ． 6．（2023秋•昌黎县期末）如图，在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高线，取F为BC中点，连接点D，E，F得到△DEF，G是ED中点． （1）求证：FG⊥DE； （2）如果∠A＝60°，BC＝16，求FG的长度． 7．（2018•双滦区一模）在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动． （1）如图①，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的关系； （2）如图②，当点E，F分别移动到边DC，CB的延长线上时，连接AE和DF，（1）中的结论还成立吗？说