第11讲 与圆有关的最值问题-冲刺2024年中考数学二轮复习重难点专题突破（全国通用）

第11讲 与圆有关的最值问题（原卷版） 第一部分 模型解读+典例剖析 类型一 圆中最长弦——直径最值问题 模型解读： 如图，⊙O中最长的弦是直径AB. 【典例1】（2023•东营区校级一模）如图，AB是⊙O的弦，AB＝2，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°．若点M、N分别是AB、BC的中点，则MN长的最大值是　 　． 【典例2】（2022•揭阳一模）如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD＝3，AB＝8，PM＝l，则l的最大值是　 ． 类型二 点圆最值问题 模型解读：如图①，当点P在⊙O外时，PA最短，PB最长； 如图②，当点P在⊙O内的OA上时，PA最短，PB最长. 【典例3】（2020秋•涪城区期末）如图，圆与坐标轴分别交于原点O，点A（6，0）和B（0，2），点P是圆上一个动点，点C（0，﹣3），则PC长度的最小值为（　　） A．4 B．8 C．2 D．5 【典例4】（2022•浦北县二模）如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E、F分别为AD、DC边上的点，且EF＝2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为（　　） A．3 B．4 C．2 D．5 【典例5】（2024•渭城区一模）【问题情境】（1）点A是⊙O外一点，点P是⊙O上一动点．若⊙O的半径为2，且OA＝5，则点P到点A的最长距离为 　 　； 【直接运用】（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径的半圆交AB于点D，P是弧CD上的一个动点，连接AP，求AP的最小值； 【灵活运用】（3）如图3，⊙O的直径为8，弦，点C为优弧AB上的一动点，AM⊥AC，交直线CB于点M，求△ABM面积的最大值． 类型三 线圆最值问题 模型解读：AB为⊙O的一条定弦，C为圆上一动点. 1. 如图①，若点C在优弧AB上，当CH⊥AB且CH过圆心O时， 线段CH的长即为点C到弦AB的最大距离，此时△ABC的面积最大. 2. 如图②，若点C在劣弧AB上，当CH⊥AB且直线CH过圆心O时， 线段CH的长即为点C到弦AB的最大距离，此时△ABC的面积最大. 【典例6】（2021秋•江西月考）如图，P为⊙O内的一个定点，A为⊙O上的一个动点，射线AP，AO分别与⊙O交于B，C两点，若⊙O的半径为3，OP，则弦BC的最大值为 　 　． 【典例7】（2022•自贡模拟）如图，△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，D点是△ABC所在平面上的一个动点，且∠BDC＝60°，则△DBC面积的最大值是 　 　． 【典例8】如图，在Rt△ABC中，AB＝3，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点B顺时针旋转，得到△A'BC'，点A、C的对应点分别为A'、C'，点D是A'C'的中点，求旋转的过程中，点D到直线AC距离的最大值． 第二部分 专题提优训练 1．（2023•江汉区校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ的最小值（　　） A．5 B．4 C．4.75 D．4.8 2．（2021秋•惠城区校级期中）如图，已知直线yx﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA，PB，则△PAB面积的最大值与最小值之和是 　 　． 3．（2023秋•武城县期末）如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP的长的最小值为（　　） A．2 B．4 C．5 D．7 4．（2024•高青县一模）如图，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，P为⊙O上一动点，M为AP的中点，连接CM．若⊙O的半径为2，则CM的最大值为（　　） A． B． C．4 D． 5．（2023秋•惠山区期末）如图，在平面直角坐标系中，半径为1的⊙A的圆心A的坐标为（0，2），点B为x轴上一个动点，过点B作⊙A的切线，切点为C，CD⊥AB于点D．下列结论：①CD的最大值为1；②BC的最小值为；③∠ABC的最大值为30°；④若点B（1，0），则△BCD的面积为．则其中正确的结论有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．（2023秋•西湖区期末）已知，线段AB＝4，点C为平面上一点，若∠ACB＝30°，则线段AC的最大值是（　　） A．4 B． C．8 D． 7．（2023•武昌区模拟）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，O为AC的中点，过O作OE⊥OF，OE、OF分别交射线AB、BC于E、F，则EF的最小值为