第10讲 利用“两点之间，线段最短”求最值-冲刺2024年中考数学二轮复习重难点专题突破（全国通用）

第10讲 利用“两点之间，线段最短”求最值（原卷版） 第1部分 模型解读及典例剖析 类型一 一动两定（一线两点型） （一）线段和最小问题 模型解读： 1. 两点在一条直线异侧 如图1，点A、B在直线l两侧，直线l上有一动点P，求PA+PB的最小值 如图2，连接AB，与直线l上交于点P，此时PA+PB有最小值，最小值为AB的长。 图1 图2 2. 两点在一条直线同侧 如图3，点A、B在直线L同侧，直线l上有一动点P，求PA+PB的最小值 如图4，作点B关于直线l的对称点B1，连接AB1，与直线L交于点P，此时PA+PB有最小值，最小值为AB1的长。 图3 图4 【典例1】（2024•怀远县模拟）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E，F，若D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最小值为（　　） A．12 B．8 C．7 D．6 【典例2】（2024春•宿城区期中）如图，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，点P在AC上运动，以CE为边向外作正方形CFGE，连接PD、PG，若BC＝2，则PD+PG的最小值为 　 　． （二）线段差最大问题 模型解读： 3. 两点在一条直线异侧 如图1，点A、B在直线L两侧，直线l上有一动点P，求|PA－PB|的最大值 图1 图2 图3 图4 【典例3】（2023秋•南宁期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB＝12cm，△BMC的周长是20cm，若点P在直线MN上，则PA﹣PB的最大值为（　　） A．12cm B．8cm C．6cm D．2cm 【典例4】（2023•威海一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接AC，O是AC的中点，M是AD上一点，且MD＝1，P是BC上一动点，则PM﹣PO的最大值为（　　） A． B． C． D． 类型二 两定一动（“一点两线”型） 【典例5】（2023春•惠安县期末）如图，已知∠AOB＝30°，点P是∠AOB内部的一点，且OP＝4，点M、N分别是射线OA和射线OB上的一动点，则△PMN的周长的最小值是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【典例6】（2023•高新区校级模拟）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，AB＝1，AD＝2，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小，则最小值为　 ． 第二部分 专题提优训练 1．（2023秋•曲靖期末）如图，河道l的同侧有M，N两个村庄，计划铺设管道将河水引至M，N两村，下面四个方案中，管道总长度最短的是（　　） A． B． C． D． 2．（2023春•句容市期中）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，动点P是正方形内一点，满足，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（　　） A．8 B．10 C． D． 3．（2024春•河东区期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C，D均在坐标轴上，∠ABC＝120°，点A的坐标为（﹣3，0），E是CD的中点，P是OC上的一动点，则PD+PE的最小值是（　　） A．3 B．5 C． D． 4．（2023春•郫都区期末）如图，在四边形ABCD中，∠C＝β，∠B＝∠D＝90°，点E、F分别在BC、DC上，当△AEF的周长最小时，用β的代数式表示∠EAF，则∠EAF＝　 　． 5．（2021春•龙马潭区期末）如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是　 ． 6．（2023春•罗湖区期末）如图，点C，D分别是边∠AOB两边OA、OB上的定点，∠AOB＝20°，OC＝OD＝4．点E，F分别是边OB，OA上的动点，则CE+EF+FD的最小值是 　 ． 7．（2023•碑林区校级一模）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，对角线AC、BD交于点O，BD＝8，点E为OD的中点，点F为AB上一点，且AF＝3BF，点P为AC上一动点，连接PE、PF，则|PF﹣PE|的最大值为 　 ． 8．（2021•江都区模拟）如图，在边长为2的正方形ABCD中，连接对角线AC，将△ADC沿射线CA的方向平移得到△A'D'C'，分别