第09讲 利用垂线段最短求最值-冲刺2024年中考数学二轮复习重难点专题突破（全国通用）

第9讲 利用垂线段最短求最值（原卷版） 第一部分 典例剖析 类型一 一动一定求最值 模型解读：如图，直线l外一定点A和直线L上一动点B，求点A，B之间距离的最小值。通常过定点A作直线l的垂线AB，利用垂线段最短解决问题，即链接直线l外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 【典例1】（2023春•三台县期中）如图：点P是Rt△ABC斜边AB上的一点，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，BC＝15，AC＝20，则线段EF的最小值为（　　） A．12 B．6 C．12.5 D．25 【典例2】（2022秋•合川区期末）如图，在边长为的等边△ABC中，D为BC边的中点，E为直线AD上一动点，连接CE，将线段CE绕点C逆时针旋转60°，得到线段CF，连接DF，则线段DF长的最小值为（　　） A．2 B． C． D．3 类型二 两定一动求最值 模型解读：如图，A,P为直线l上的两点，A为定点，P为动点，B为直线l外的一定点，求kAB＋BP（0＜k＜1）的最小值.（胡不归问题） 方法：如图，构造∠PAN，使得sin∠PAN＝k，过点P作PE⊥AN于点E,从而利用kAB＝sin∠PAN·PA，使得kPA＋BP＝PE＋PB，过点B作BF垂直AN于点F,交直线l于点P′，利用垂线段最短转化为求BF的长。 【典例3】（2022春•亭湖区期中）如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝4，点P为线段BD上的一个动点，则MPPB的最小值是（　　） A．4 B． C． D．5 【典例4】（2023•叙州区模拟）如图，平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则PBPD的最小值等于 　 　． 类型三 两动一定求最值 模型解读：如图1，P是∠AOB的内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一定N，使得PN+MN的值最小，要使PN+MN的值最小，设法将PN，MN转化在同一直线上，如图2，作点P关于OB的对称点P′，作P′M⊥OA于点M，交OB于点N,利用“垂线段最短”求解即可。 【典例5】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD是∠BAC的平分线，若P，Q分别是AD和AC上的动点，求PC+PQ的最小值． 【典例6】（2023•江门三模）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB+BC＝8，tanA，点O、D分别是边AB、AC上的动点，则OC+OD的最小值为（　　） A． B． C． D． 第二部分 专题提优训练 1．（2021春•龙岗区月考）如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD＝5，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为 　 　． 2．（2024春•北京期中）如图，菱形ABCD的周长为24，∠ABD＝30°，点P是对角线BD上一动点，Q是BC的中点，则PC+PQ的最小值是（　　） A．6 B． C． D． 3．（2021春•金寨县期末）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点M为对角线BD上一动点，ME⊥BC于点E，MF⊥CD于点F，连接EF，则EF的最小值为（　　） A．1 B． C． D． 4．在锐角△ABC中，BC＝4，∠ABC＝30°，BD平分∠ABC，点M、N分别是BD、BC上的动点，连接MN、CM，则CM+MN的最小值是多少？ 5．（2023春•常州期末）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝6，点E、F分别在边AB、AD上，且BE＝AF，则EF的最小值是（　　） A．2 B．3 C． D． 6．（2023春•南通期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝8，点E为对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG．点H是CD上一点，且DHCD，连接GH，则GH的最小值为 　 ． 7．（2021•江都区模拟）如图，在边长为2的正方形ABCD中，连接对角线AC，将△ADC沿射线CA的方向平移得到△A'D'C'，分别连接BC'，AD'，BD'，则BC'+BD'的最小值为 　 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第9讲 利用垂线段最短求最值（解析版） 第一部分 典例剖析 类型一 一动一定求最值 模型解读：如图，直线l外一定点A和直线L上一动点B，求点A，B之间距离的最小值。通常过定点A作直线l的垂线AB，利用垂线段最短解决问题，即链接直线l外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 【典例1】（2023春•三台县期中）如图：点P是Rt△ABC斜边AB上的一点，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，BC＝15，AC＝20，则线段EF的最小值为（　　） A．12 B．6 C．12.5 D．25 【思路引领】连