8.6.3平面与平面垂直（第二课时）（同步课件）-2023-2024学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第二册）

8.6.3平面与平面垂直 （第二课时） 小结 二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以点为 垂足，在半平面内分别作垂直于棱的射线，则射线 构成的叫做二面角的平面角。 小结 平面与平面垂直判定定理： 一如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。 符号语言： 图形语言： 新知探究 问题1：如图，设，.则内任意一条直线与有什么位置关系？相应地，与有什么位置关系？为什么？ // → // 与相交 → 与相交 什么时候？ 问题2：教室内的黑板所在的平面与地面所在的平面垂直,在黑板上任意画一条直线与地面垂直吗?怎样画才能保证所画直线与地面垂直? 垂直于交线 新知探究 平面与平面垂直的性质定理： 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直。 符号语言： 图形语言： 新知探究 思考1：设平面平面，点在平面内，过点作平面的垂线，直线与平面具有什么位置关系？ 如图，设， 过点在平面内作直线， 根据平面与平面垂直的性质定理，. 因为过一点有且只有一条直线与平面垂直， 所以直线与直线重合， 因此. 新知探究 辨析1：判断正误. 已知平面⊥平面，： （1）平面内的任意一条直线必垂直于平面（ ） （2）垂直于交线的直线必垂直于平面（ ） （3）过平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于平面（ ） × × √ 辨析2：如图所示，在长方体的棱上任取一点， 作于，则与平面的关系是( ). A.平行 B.平面 C.相交但不垂直 D.相交且垂直 新知探究 思考2：设对于面面垂直的性质，我们探究了一个平面内的直线与另一个平面的特殊位置关系．如果直线不在两个平面内，或者把直线换成平面，你又能得到哪些结论？ 例9：如图，已知平面平面，直线判断与的位置关系. 解：在内作垂直于与交线的直线. ∵，∴. 又，∴， 又，∴. 即直线与平面平行. 练习巩固 例10：如图，已知平面，平面平面求证：平面. 证明：如图，过点作，垂足为. ∵平面平面，平面平面， ∴平面. ∵平面，∴. ∵平面，平面， ∴. 又， ∴平面. 练习巩固 练习1：如图，在三棱锥中，平面,平面平求证：平面. 证明：在平面内，作于点. ∵平面平面， 且平面平面，平面， ∴平面.又平面，∴. ∵平面，平面， ∴，又∵， ∴平面. 练习巩固 变式1-1：如图所示，是四边形所在平面外的一点，四边形是边长为的菱形，为的中点，且.侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面.求证：平面. 证明：如图，在菱形中，连接.由已知， ∴为正三角形. ∵为的中点， ∴ ∵平面平面，平面， 且平面平面， ∴平面. 练习巩固 变式1-2：如图甲,直角梯形中,,∥,为中点,在上,且∥,已知,现沿把四边形折起如图乙,使平面⊥平面.求证: 平面⊥平面. 证明：在题图甲中,∥, 所以,则在题图乙中,, 又因为平面平面, 平面平面, 所以平面, 又平面,所以, 又因为,所以平面, 又平面,所以平面平面. 练习巩固 练习2：如图，和所在平面互相垂直，且,分别为的中点. (1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积. （1）证明：∵，， ∴.∴ ∵为的中点.∴同理. ∵∴平面 又分别为的中点， ∴ ∴平面. 练习巩固 练习2：如图，和所在平面互相垂直，且,分别为的中点. (1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积. （2）解：在平面内，作，交的延长线于，如图所示. ∵和所在平面互相垂直，平面平面， 且平面，∴平面， ∵为的中点，∴到平面的距离是长度的一半. 在中，∴. 在中，，， ∴.故. ∴. 练习巩固 变式2-1：如图，在四棱锥中，平面平面，平面 .求证： (1)平面； (2)记平面平面，判断与的位置关系， 并说明理由。 （1）证明：∵平面， 平面，平面平面， ∴. ∵平面，平面， ∴平面. 练习巩固 变式2-1：如图，在四棱锥中，平面平面，平面 .求证： (1)平面； (2)记平面平面，判断与的位置关系，并说明理由。 （2）证明：∵ 平面， 平面，平面平面 ∴ ∵，满足， ∴由，知. ∵平面平面，平面平面， 平面，∴平面. ∵平面，∴. 又，，∴平面. ∵平面， ∴平面平面. 小结