21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系课件 2023-2024学年人教版数学九年级上册

*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 21.2　解一元二次方程 学习目标 1.会求一元二次方程的两根之和与两根之积 2.能用一元二次方程的根与系数的关系解决问题 方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是什么？ 求根公式不仅表示可以由方程的系数a、b、c决定根的值.而且反映了根与 系数之间的联系.一元二次方程根与系数之间的关系还有其他的表现方式吗？ 复习引入 从因式分解法可知，方程(x－x1)(x－x2)＝0(x1，x2为已知数)的两根为x1和x2，将方程化为x2＋px＋q＝0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？ 思考1 新课讲授 重要发现 如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2= -p , x1 ·x2=q. (x-x1)(x-x2)=0. x2-(x1+x2)x+x1·x2=0， x2+px+q=0， x1+x2= -p , x1 ·x2=q. 一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？ 思考2 已知方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac≥0时，两根分 别为x1= ，x2= 。 x1+x2= ， x1x2= . 一元二次方程的根与系数的关系： 如果 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、 x2，那么 注意：满足上述关系的前提条件 b2-4ac≥0. 归纳小结 把 ax2+bx+c=0（a≠0）的两边同除以a，能否得出该结论？ 想一想 ∵ ax2+bx+c=0（a≠0）的两边同除以a 得 又∵x2-（x1+x2）x+x1x2=0 ∴-（x1+x2）= ，x1x2= 可得 x1+x2= ，x1x2= 例1 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积： (1) x2－6x－15＝0 (2) 3x2＋7x－9＝0；(3) 5x－1＝4x2. 解： (1)x1＋x2＝－(－6)＝6，x1x2＝－15. 例题讲解 例2 已知一元二次方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值. 由于x1·x2 = 1×5 = 得m = 15. 答：方程的另一个根是5，m=15. 解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=1. 所以 x1 + x2 = 1+x2 = 6 ， 解得x2 = 5. 解：根据根与系数的关系可知： 例3 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和. 常见的变形公式: 归纳小结 1.如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另 一个根是___，m =____. -3 2x1x2 2.设 x1、x2是方程x2－4x+1=0的两个根，则 (1) x1+x2 = _____ , x1x2 = _______， (2) x12+x22 = (x1+x2)2 - ________ = ______, (3) (x1-x2)2 = (______)2 - 4x1x2 = _______. 4 1 14 12 x1+x2 随堂练习 3.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积. （1）x2 + 7x + 6 = 0;（2）2x2 - 3x - 2 = 0. 解：(1)这里 a = 1 , b = 7 , c = 6. Δ = b2 - 4ac = 72 – 4 × 1 × 6 = 25 > 0. ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 = -7 , x1 x2 = 6. （2）2x2 - 3x - 2 = 0. （2）这里 a = 2 , b = -3 , c = -2. Δ= b2 - 4ac = （- 3）2 – 4 × 2 × (-2) = 25 > 0, ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1, x2,