24.1.2 垂直于弦的直径 课件 2023—2024学年人教版数学九年级上册

24.1.2 垂直于弦的直径 第二十四章 圆 圆是轴对称图形吗？ 新课导入 1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形． 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题． 3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题． 学习目标 什么是轴对称图形？ 我们学过哪些轴对称图形？ 回 顾 知识点1 圆的轴对称性 合作探究 如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形． 线段 角 等腰三角形 矩形 菱形 等腰梯形 正方形 圆 合作探究 　 用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？和同伴交流. 发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．　 合作探究 圆有无数条对称轴，每一条对称轴都是直径所在的直线. 圆有哪些对称轴？ O 如何来证明圆是轴对称图形呢？ 合作探究 B O A C D E 大胆猜想 已知：在⊙O中，CD是直径， AB是弦， CD⊥AB，垂足为E． 满足什么条件才能证明圆是轴对称图形呢？ 是轴对称图形． 思考：左图是轴对称图形吗？ 合作探究 证明：连接OA、OB. 则OA＝OB． 又∵CD⊥AB， ∴直径CD所在的直线是AB的垂直平分线. ∴对于圆上任意一点，在圆上都有关于直线CD的对称点，即⊙O关于直线CD对称. B O A C D E 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. 合作探究 知识点2 垂径定理及其推论 显然，由上面的证明可知，如果⊙O的直径CD垂直于弦AB,垂足为E，那么点A、B是关于CD所在直线的对称点，则AE=BE.把⊙O沿CD对折时，AD与BD重合，即AD=BD. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ B O A C D E 合作探究 垂直于弦的直径平分弦，并 且平分弦所对的两条弧． 垂径定理 B O A C D E 合作探究 下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？ D O C A E B D O C A E B 图1 图2 图3 图4 D O C A E B O A E B 合作探究 推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 合作探究 AE＝BE AC＝BC AD＝BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ CD是直径，AB是弦， CD⊥AB ①过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦 ④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧 题设 结论 D O A B E C 垂径定理 合作探究 N O A B M C D 为什么强调这里的弦不是直径？ 一个圆的任意两条 直径总是互相平分， 但它们不一定互相垂 直.因此这里的弦如 果是直径，结论不一 定成立． 合作探究 根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说.如果具备： （1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧 上述五个条件中的任意 个条件都可以推出其他 个结论. 两 三 合作探究 条件 结论 命题 ①③ ②④⑤ ①④ ②③⑤ ①⑤ ②③④ ②③ ①④⑤ ②④ ①③⑤ ②⑤ ①③④ ③④ ①②⑤ ③⑤ ①②④ ④⑤ ①②③ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧． 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧． 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧． 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧． 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦． 垂径定理的推论 合作探究 垂径定理往往转化成应用勾股定理解直角三角形 d + h = r d h a r 有哪些等量关系？ 在a，d，r，h 中，已知其中任意 两个量，可以求出 其它两个量． 合作探究 例 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥, 距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位). A C B D O 37 7.23 18.5 R R-7.23 合作探究 解：设赵洲桥主桥拱的半径为R. 则R2=18.52+(R-7.23)2 解得：R≈27.3 因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m. A C B D O 37 7.23 18.5 R R-7.23 合作探究 1. 在⊙