22.1.4 课时2 用待定系数法求二次函数的解析式 课件 2023—2024学年人教版数学九年级上册

第二十二章 二次函数 22.1.4 课时2 用待定系数法求二次函数的解析式 用待定系数法求函数的解析式. 已知一个一次函数的图象经过点(3，5)，(7，1)，用待定系数法求这个一次函数的解析式. 解：设这个一次函数的表达式是 y=kx+b， 解得 所求一次函数是 y=-x2-4x-3. 把(3，5)，(7，1)代入 y=kx+b 得: 3k+b=5， 7k+b=1. k=-1， b=8. 思考:如何用待定系数法求二次函数的解析式呢？ 新课导入 1. 会用待定系数法求二次函数的解析式； 2. 会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题. 学习目标 问题1 （1）由几个点的坐标可以确定二次函数？这几个点应满足什么条件？ 3个 由两点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标，可以确 定一次函数的解析式，类似地，由不共线（三点不在同 一直线上）的坐标，可以确定二次函数的解析式. （2）如果一个二次函数的图象经过（−1，10 ），（1，4），（2，7）三点，能求出这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析式.并简要说说解题思路. 一、用一般式法求二次函数的表达式 合作探究 所求二次函数解析式为y=2x2−3x+5. （2）解：设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c. 由已知，图象经过(−1，10 )，(1，4)，(2，7)三点，得关于a，b，c的三元一次方程组 解得 合作探究 想一想 确定二次函数的这三点应满足什么条件？和同伴交流. 任意三点不在同一直线上（其中两点的连线可平行于x轴，但不可以平行于y轴）. 合作探究 例1 已知一个二次函数的图象过点A(-1,0), B(4,5), C(0,-3). 三点，求这个函数的解析式. 解：设所求抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c. ∵抛物线经过点A(-1，0), B(4，5), C(0，-3). ∴ 解得a＝1，b＝-2，c＝-3. ∴抛物线的解析式为y＝x2-2x-3. 典例精析 这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法. 其步骤是： ①设函数表达式为y=ax2+bx+c； ②代入后得到一个三元一次方程组； ③解方程组得到a，b，c的值； ④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式. 用一般式法求二次函数表达式的方法 归纳总结 1.已知一个二次函数的图象过点A(0,0), B(-1,-1), C(1,9)三点， 求这个函数的解析式. 第一步:设出解析式的形式； 第二步:代入已知点的坐标； 第三步:解方程组。 解：设所求抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c. ∵抛物线经过点A(0,0), B(-1,-1), C(1,9). ∴ 解得a＝4，b＝5，c＝0. ∴抛物线的解析式为y＝4x2+5x. 0=c -1=a-b+c 9=a+b+c 问题2 已知二次函数y=a(x−1)2+4的图象经过点(−1，0)．求这个二次函数的解析式； 则函数解析式为y=−(x−1)2+4. 解：把（−1，0）代入二次函数解析式 得4a+4=0， 即a=−1， 已知顶点坐标，只需知一个点的坐标便能求出该二次函数的解析式 二、用顶点法求二次函数的表达式 合作探究 例2 已知抛物线顶点为(1,-4)，且又过点(2,-3)，求其解析式. 解：∵抛物线顶点为(1,-4) ∴设其解析式为y=a(x-1)2-4， 又抛物线过点(2,-3)， 则-3=a(2-1)2-4，则a=1. ∴其解析式为y=(x-1)2-4＝x2-2x-3. 典例精析 用顶点法求二次函数的方法 这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.其步骤是： ①设函数表达式是y=a(x−h)2+k； ②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程； ③将另一点的坐标代入原方程求出a值； ④a用数值换掉，写出函数表达式. 归纳总结 2.已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为（﹣1，2），且图象过点（1，﹣3），求这个二次函数的关系式. 解：∵抛物线顶点为(-1,2) ∴设其解析式为y=a(x+1)2+2， 又抛物线过点(1,-3)， 则3=a(1+1)2+2，则a= . 所以这个二次函数的关系式是y= (x+1)2+2. 13 3. 已知一个二次函数有最大值4．且x＞5时，y随x的增大而减小，当x＜5时，y随x的增大而增大，且该函数图象经过点(2，1)，求该函数的解析式． 解：由题意得，二次函数的顶点坐标为（5，4）， 设关系式为y=a(x−5)2+4，把(2，1)代入得，1=9a+4， 解得 ∴二次函数的关系式为 当题目中有最值、对称轴等条件时，可由此得出顶点坐标，利用顶点式