21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 课件 2023—2024学年人教版数学九年级上册

*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 1 1.探索一元二次方程的根与系数的关系. 2. 利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题. 学习目标 1.一元二次方程的求根公式是什么？ 想一想：方程的两根x1和x2与系数a,b,c还有其它关系吗？ 2.如何用判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况？ 对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0) b2 - 4ac > 0 时,方程有两个不相等的实数根. b2 - 4ac = 0 时,方程有两个相等的实数根. b2 - 4ac < 0 时,方程无实数根. 复习引入 请观察上表，你能发现两根之和、两根之积与方程的系数之间有什么关系吗？ ①用语言叙述你发现的规律 问题1 解下列方程，并填写表格： 方程 x1 x2 x1＋x2 x1·x2 x2－2x＝0 x2＋3x－4＝0 x2－5x＋6＝0 0 2 2 0 -4 1 -3 -4 6 -1 5 -6 合作探究 方程 x1 x2 x1＋x2 x1·x2 x2－2x＝0 x2＋3x－4＝0 x2－5x＋6＝0 0 2 2 0 -4 1 -3 -4 6 -1 5 -6 问题1 解下列方程，并填写表格： ②若x1、x2为关于x的方程x2＋px＋q＝0（p、q为常数，p2-4q≥0）的两个根，结合上表，说明x1+x2与x1·x2与p，q有何关系？请你写出关系式. x1+x2=-p, x1x2=q 问题2 解下列方程，并填写表格： 请观察上表，你能发现两根之和、两根之积与方程的系数之间有什么关系吗？ ①用语言叙述你发现的规律 方程 x1 x2 x1＋x2 x1·x2 2x2－7x－4＝0 3x2＋2x－5＝0 5x2－17x＋6＝0 4 -0.5 3.5 -2 1 3 方程 x1 x2 x1＋x2 x1·x2 2x2－7x－4＝0 3x2＋2x－5＝0 5x2－17x＋6＝0 问题2 解下列方程，并填写表格： 4 -0.5 3.5 -2 1 3 ②若x1、x2为关于x的方程ax2＋bx＋c＝0（a、b、c为常数，b2-4ac≥0）的两个根，结合上表，说明x1+x2与x1·x2与a、b、c有何关系？请你写出关系式. 问题3 一元二次方程 的两个根分别是 、 . 求证： ， . 归纳小结 注意：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac≥0 如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根为 x1， x2，那么 ， 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的 根与系数的关系 16世纪法国最杰出的数学家韦达发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。数学原本只是韦达的业余爱好，但就是这个业余爱好，使他取得了伟大的成就。韦达是第一个有意识地和系统地使用字母表示数的人，并且对数学符号进行了很多改进。是他确定了符号代数的原理与方法，使当时的代数学系统化并且把代数学作为解析的方法使用。因此，他获得了“代数学之父”之称。 读 一 读 例 根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程两根x1，x2 的和与积. (1) x2-6x-15=0 (2) 3x2+7x-9=0 (3) 5x-1=4x2 解：(1)x1+x2=-(-6)=6, x1x2=-15 不解方程，求下列方程两根的和与积. x2-3x=15； 5x2-1=4x2+x 解：x1+x2=3 x1x2=-15 解：化简得 x2-x-1=0 x1+x2=1 x1x2=-1 1．关于x的方程x2＋px＋q＝0的根为x1＝1＋ ，x2＝1－ ，则p＝______，q＝______． －2 －1 －7 2．已知方程5x2＋kx－6＝0的一根是2，则另一根是______，k＝______． 随堂练习 3．求下列方程的两根x1，x2的和与积． （1）x2－3x＋2＝0；　　　　　　　（2）x2＋x＝5x＋6 解：（1）x1＋x2＝3， x1x2＝2． （2）化简得