21.2.3 因式分解法课件2023-2024学年人教版数学九年级上册

21.2.3 因式分解法 21.2 解一元二次方程 1.理解用因式分解法解方程的依据. 2.会用因式分解法解一元二次方程. 3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程. 学习目标 知识回顾 我们已经学过哪些解一元二次方程的方法? 直接开平方法，配方法，公式法. 多项式的因式分解有哪些方法？ ma + mb + mc = m(a+ b+ c); a2 ±2ab+b2=(a ± b)2； a2 -b2=(a + b)(a-b). 提公因式法 公式法 新课导入 情景导入 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么物体经过x s离地面的高度(单位：m)为 10x－4.9x2. 根据上述规律，物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)? 新课导入 设物体经过x s落回地面，这时它离地面的高度为0 m， 即 10x－4.9x2＝0. ① 问题：请用用配方法或公式法解方程① . 活动探究 解： 解： ∵ a=4.9,b=-10,c=0. ∴ b2－4ac = (－10)2－4×4.9×0 =100. 公式法解方程10x-4.9x2=0. 配方法解方程10x-4.9x2=0. 10x-4.9x2=0. 除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程①？ 知识点1 用因式分解法解方程 活动：观察方程 10x－4.9x2＝0，它有什么特点？你能根据它的特点找到更简便的方法吗？和同伴交流. 两个因式的积等于零 至少有一个因式为零 10x - 4.9x 2 = 0 x1 = 0，x2 = x = 0 或　10 - 4.9x = 0 x(10 - 4.9x) = 0 依据： 如果 a·b=0， 那么 a=0 或 b=0． 活动探究 思考：解方程10x－4.9x2＝0时，二次方程是如何降为一次的？ 可以发现，上面的解法中，不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法． 因式分解法的依据： 如果 a·b=0， 那么 a=0 或 b=0． 归纳 活动探究 例1 解方程：x(x－2)＋x－2＝0． 整体思想：公因式x－2 解法一用到了整体思想， 解法二用到了十字相乘法． 解法一：因式分解，得 (x－2)(x＋1)＝0． 于是得x－2＝0，或x＋1＝0， ∴x1＝2，x2＝－1． 解法二：整理，得x2－x－2＝0， 因式分解，得(x－2)(x＋1)＝0． 于是得x－2＝0，或x＋1＝0， ∴x1＝2，x2＝－1． 活动探究 例2 解方程： 平方差公式 解：移项、合并同类项，得 4x2－1＝0． 因式分解，得 (2x＋1)(2x－1)＝0． 于是得 2x＋1＝0，或2x－1＝0， ∴＝－，＝． 活动探究 用因式分解法解一元二次方程的步骤 注意：不能随意在方程两边约去含未知数的代数式，如x(x－1)＝x，若约去x，则会丢失x＝0这个根． 1．移项：将方程的右边化为0； 2．分解：将方程的左边分解为两个一次式的乘积； 3．转化：令每个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； 4．求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解． 归纳总结 知识点2 用适当的方法解一元二次方程 活动 和同伴交流，用适当的方法解下列方程： (1) 3x(x + 5)= 5(x + 5)； (2) (5x + 1)2 = 1； 即 3x − 5 = 0 或 x + 5 = 0. ∴ x 1= 0 , x2= 分析：该式左右两边可以提取公因式， 所以用因式分解法解答较快. 解：化简 (3x − 5) (x + 5) = 0. 分析：方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可用直接开平方法. 解：开平方,得 5x + 1 = ±1. 活动探究 (3) x2 − 12x = 4 ; (4) 3x2 = 4x + 1. 开方得 解得 x1= ， x2= 解：化为一般形式 3x2 - 4x - 1 = 0. ∵Δ=b2 - 4ac = 28 > 0, 分析：二次项系数为1，一次项系数为偶数，可用配方法来解题较快. 解：配方，得 x2 − 12x + 62 = 4 + 62, 即 (x − 6)2 = 40. 分析：二次项的系数不为1，且不能直接开平方，也不能直接因式分解，所以