第07讲 函数的单调性与最值（精讲）-2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）

2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用） 第06讲 函数的单调性与最值（精讲） ①函数单调性的判断与证明 ②求函数的单调区间 ③复合函数的单调性 ④函数单调性的应用（求参数、解不等式、比较大小） ⑤求函数的最值（值域） 一、必备知识整合 1.函数的单调性 （1）增函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数； （2）减函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有 ，那么就说函数在区间上是减函数. （3）【特别提醒】 ①单调区间只能用区间表示，不能用不等式或集合表示． ②有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接． 2.函数的最值 （1）最大值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足： ①对于任意的，都有；②存在，使得. 那么，我们称是函数的最大值. （2）最小值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足： ①对于任意的，都有；②存在，使得. 那么，我们称是函数的最小值. （3）函数最值存在的两个结论 ①闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．②开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值． 1.∀x1，x2∈D(x1≠x2)，⇔f(x)在D上是增函数；⇔f(x)在D上是减函数． 2.对勾函数y＝ (a＞0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，减区间为[－，0)和(0，]． 3.当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数． 4.若k＞0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k＜0，则kf(x)与f(x)的单调性相反． 5.函数y＝f(x)在公共定义域内与y＝的单调性相反． 6.复合函数y＝f[g(x)]的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性关系是“同增异减”． 二、考点分类精讲 【题型一 函数单调性的判断与证明】 1.定义法证明函数单调性的步骤 2.判断函数单调性的四种方法 (1)图象法；(2)性质法；(3)导数法；(4)定义法． 3.证明函数单调性的两种方法 (1)定义法；(2)导数法． 【典例1】（23-24高一上·陕西汉中·期中）已知函数． (1)试判断函数在区间上的单调性，并证明； (2)求函数在区间上的值城． 一、单选题 1．（23-24高三上·上海杨浦·期中）已知函数，.若成立，则下列论断中正确的是（    ） A．函数在上一定是增函数； B．函数在上一定不是增函数； C．函数在上可能是减函数； D．函数在上不可能是减函数. 2．（2024·陕西榆林·一模）已知函数在上单调递增，则对实数，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、解答题 3．（23-24高三上·新疆阿克苏·阶段练习）已知函数， (1)求该函数的定义域； (2)证明该函数在上单调递减； (3)求该函数在上的最大值和最小值. 4．（23-24高三上·黑龙江佳木斯·阶段练习）已知函数过点． (1)判断在区间上的单调性，并用定义证明； (2)求函数在上的最大值和最小值． 5．（2024高三·全国·专题练习）对于函数. (1)探索函数的单调性； (2)是否存在实数使函数为奇函数？ 6．（23-24高三上·上海静安·阶段练习）已知奇函数. (1)求实数m的值； (2)判断并证明在区间上的单调性； (3)设，对于任意的，总存在，使得成立，求实数a的取值范围. 【题型二 求函数的单调区间】 【典例1】（单选题）（2023·海南海口·模拟预测）函数的单调递减区间是（    ） A． B．和 C． D．和 一、单选题 1．（2024高三·全国·专题练习）函数y＝的单调递减区间为（　　） A．（－∞，＋∞） B．（0，＋∞） C．（－∞，0）∪（0，＋∞） D．（－∞，0），（0，＋∞） 2．（22-23高三上·甘肃兰州·开学考试）函数的单调增区间是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．（22-23高三上·河北廊坊·阶段练习）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（23-24高三上·河南南阳·阶段练习）函数在区间A上是减函数，那么区间A是 . 5．（23-24高三上·宁夏固原·阶段练习）函数的单调递减区间为 . 【题型三 复合函数的单调性】 求复合函数单调区间的一般步骤 (1)求函数的定义域(定义域先行)． (2)求简单函数的单调区间． (3)求复合函数的单调区间，其依据是“同增异减”． 【典例1】（单选题）（23-24高三上·浙江绍兴·期末）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（23-24高三