08计数原理与概率统计-2024届新高考数学考前15天保温讲义

新高考数学【考前15天】【保温】【专题】08计数原理与概率统计 【必备知识点】 1.排列数及其运算 =n(n-1)…(n-m+1)= (m，n∈N*，且m≤n)； =n=m+. 2.组合数公式与组合数性质 1） 组合数公式： === (n，m∈N*，且m≤n). 2）规定： =1. 3） 组合数的性质： ==+. 3.二项式定理 1）概念：公式(a+b)n= an+ an-1b1+…+ an-kbk+…+ bn，n∈N*叫做二项式定理 2） (a+b)n的二项展开式：an+ b1+…+ an-kbk+…+ bn 3） 二项式系数：展开式中各项的系数 (k=0，1，2，…，n) 4） 通项：展开式的第k+1项：Tk+1= an-kbk 5）备注：在二项式定理中，若设a=1，b=x，则得到公式： (1+x)n= + x+ x2+…+ xk+…+ xn 4.计算一组n个数据的第p百分位数的步骤 　　第1步，按从小到大排列原始数据. 　　第2步，计算i =n×p%. 　　第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数. 5.数据集中趋势的估计 (1)众数：一组数据中重复出现次数最多的数. (2)中位数：把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，处在最中间位置的数(或最中间两个数的平均数)叫做这组数据的中位数. (3)平均数：如果有n个数x1，x2,…,xn，那么= (x1+x2+…+xn)叫做这n个数的平均数. 6.数据离散程度的估计 1）极差 极差在一定程度上刻画了数据的离散程度. 但因为极差只使用了数据中最大、最小两个值的信息，对其他数据的取值情况没有涉及，所以极差所含的信息量很少. 2）方差和标准差 (1)方差、标准差的定义： 已知一组数据x1，x2，…，xn，用表示这组数据的平均数，则这组数据的方差为 s2=(xi-)2=-2，标准差为s=. 7.回归分析 样本相关系数 1）. 样本相关系数：r= ，r为变量x和变量y的样本相关系数，有时也称样本线性相关系数. 2）. 样本相关系数r的特征 (1)r∈[-1，1]. (2)当r>0时，称成对样本数据正相关；当r<0时，称成对样本数据负相关. (3)当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，成对样本 数据的线性相关程度越弱. * 样本相关系数r是一个描述成对样本数据的数字特征，它的正负性可以反映成对样本数据的变化特征. 经验回归方程与最小二乘法 设满足一元线性回归模型的两个变量的n对样本数据为(xi，yi)(i=1，2，…，n)，通 常用各散点到直线y=bx+a的竖直距离的平方之和Q= 来刻画各样本观测数据与该直线的“整体接近程度”. （1）当a，b的取值为 时，Q达到最小. （2）将=x+称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线. 这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的， 叫做b，a的最小二乘估计. 残差分析 对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差. 残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析. 残差=观测值-预测值 8.独立性检验 1） 假定通过简单随机抽样得到了X和Y的抽样数据列联表，如表所示. X Y 合计 Y=0 Y=1 X=0 a b a+b X=1 c d c+d 合计 a+c b+d n=a+b+c+d 　则χ2=. 2）利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验. 3）χ2独立性检验中5个常用的小概率值和相应的临界值如下表所示. α 0. 1 0. 05 0. 01 0. 005 0. 001 xα 2. 706 3. 841 6. 635 7. 879 10. 828 独立性检验的实质是检验两个分类变量是否相关及相关的程度有多大，其应用过程如下： 根据观测数据计算出χ2的值，其值越大，说明“X与Y有关系”成立的可能性越大，在假设X与Y没有关系的前提下，可以通过查阅临界值表得到P(χ2≥xα)，从而得到两变量相关的程度. 9.古典概型的概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件 A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率 P(A)= =