04平面向量-2024届新高考数学考前15天保温讲义

新高考数学【考前15天】【保温】【专题】04平面向量 【必备知识点】 1. 向量的线性运算 运算 注意 法则（或几何意义） 运算律 加法 三角形法则：首尾相连 三角形法则平行四边形法则 ①交换律 ②结合律 减法 三角形法则：共起点，连终点，指向被减向量 三角形法则 数乘 实数的正负决定方向的同，反。 （1） （2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相反； 当时， 2. 向量共线定理、平面向量基本定理 （1）共线向量定理（一维） 如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使． （2） 平面向量基本定理（二维） 有且只有一对实数使，若不共线，称 为基底。 3.向量的三角不等式 图1 图2 图3 |||-|||<|+|<||+||. 4.平面向量的数量积 1）·，即·=||||cos θ. 2） 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 5.投影向量 1）如图，设，是两个非零向量， =， =，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，则称上述变换为向量向向量投影， 叫做向量在向量上的投影向量. 2） 设与方向相同的单位向量为，与的夹角为θ，则向量在向量上的投影向量是||cos θ. 6.向量数量积的性质 设，是非零向量，它们的夹角是θ，是与方向相同的单位向量，则 (1)·=·=||cos θ. (2)⊥b⇔·=0. (3)当与同向时，·=||||；当与反向时，·=-|||. 特别地，·=||2或||=. (4)|a·|≤|a|||. 7.向量数量积的运算律 (1)·=·；(2)(λ)·=λ(·)=·(λ)；(3)(+)·=·+·. 8.向量数量积的运算及性质 (1)(±)2=|±|2=||2±2·+||2=2±2·+2； (2)2-2=(+)·(-)=||2-||2； (3)(+)2+(-)2=2(||2+||2)； (4)2+2=0⇔==0. 9.相关运算和坐标运算对比 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要条件 的充要条件 与 的关系 (当且仅当时等号成立) 【保温训练】 一、单选题 1．（2024·湖南永州·三模）在中，，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川成都·三模）若，是平面上两个非零的向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024·四川南充·三模）已知点P在所在平面内，若，则点P是的（    ） A．外心 B．垂心 C．重心 D．内心 4．（2024·安徽马鞍山·三模）已知平面向量，不共线，，，且，则（    ） A． B．0 C．1 D． 5．（2024·江苏·二模）已知非零向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·全国·模拟预测）已知向量，，则“”是“与共线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·四川凉山·三模）已知平面向量，夹角为，且满足，，若当时，取得最小值，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2022·岳阳模拟）已知在边长为2的等边中，向量满足，则下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 10．（2024·广东广州·二模）在梯形中，，则（    ） A． B． C． D． 11．（2024·山东潍坊·二模）已知向量，，为平面向量，，，，，则（   ） A． B．的最大值为 C． D．若，则的最小值为 三、填空题 12．（2024·河北保定·二模）已知向量的夹角的余弦值为，，且，则 ． 13．（2024·全国·模拟预测）已知非零向量与的夹角为锐角，为在方向上的投影向量，且，则与的夹角的最大值是 ． 14．（2024·福建宁德·三模）已知是两个单位向量，若在上的投影向量为，则与的夹角为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【参考答案】 1．A【详解】由题意，以为坐标原点，所在直线为x轴，过垂直的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，由，可得是以为直径的圆， 所以的轨迹方程为， 取的中点为，设， 可得，所以，所以， 所以点的轨迹方程为