复数-2024届新高考数学考前15天保温讲义

新高考数学【考前15天】【保温】【专题】03复数 【必备知识点】 1.复数 (1)定义：我们把形如a+bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位. (2)表示：复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部. 两个复数相等的充要条件 我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当a=c且b=d(a，b，c，d∈R). 2.复数的分类 1）复数z=a+bi(a，b∈R)的分类：复数 1） 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如图所示 3.复数的几何意义 4.复数的模 复数z=a+bi(a，b∈R，i为虚数单位)对应的向量为，则向量的模叫做复数 z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|. 即|z|=|a+bi|= 5.共轭复数 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数. 虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数. 复数z的共轭复数用表示，即如果z=a+bi(a，b∈R)，那么=a-bi. 　　|a+bi|= (a，b∈R) 重要结论：复数z在复平面内对应的点为Z，r表示大于0的常数，则|z|=r表示点Z的轨迹是以原点为圆心，r为半径的圆，|z|<r表示圆的内部，|z|>r表示圆的外部. 6.复数的加法与减法 1）复数的加、减法法则 　　设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i，(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 2）复数加法的运算律：对任意z1，z2，z3∈C，有z1+z2=z2+z1，(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). 7.复数加、减法的几何意义 1）设复数z1，z2在复平面内对应的向量分别为， (O为坐标原点)，则 复数加法的几何意义 以OZ1，OZ2为邻边作平行四边形OZ1ZZ2，则z1+z2所对应的向量为+= 复数减法的几何意义 z1-z2所对应的向量为-=   2）复平面内两点间的距离公式 设复数z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)在复平面内对应的点分别为Z1(a，b)，Z2(c，d)，则|z1-z2|=|Z1Z2|，即|z1-z2|表示复数z1，z2在复平面内对应的点之间的距离. 8.复数的乘法法则 （1）设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i. （2）两个复数的积是一个确定的复数. 特别地，当z1，z2都是实数时，把它们看作复数时的积就是这两个实数的积. 2. 复数乘法的运算律 　　对于任意z1，z2，z3∈C，有 ①交换律：z1z2=z2z1； ②结合律：(z1z2)z3=z1(z2z3)； ③分配律：z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. 9.复数的除法运算 复数的除法法则：(a+bi)÷(c+di)= +i(a，b，c，d∈R，且c+di≠0). 两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数. 10. 共轭复数的性质 若记z=a+bi(a，b∈R)的共轭复数为，则=a-bi. 对于z与有如下性质： (1)z·=|z|2=||2； (2)如果z=，则z， 为实数； (3)共轭复数的和为实数，即z+=2a； (4) =+； (5) =  . 11.in(n∈N)的周期性及其应用 虚数单位i的乘方具有周期性，最小正周期为4，有以下结论 (1)i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i(n∈N)，其中i0=1，i-n= (n∈N). (2)i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈N). 【保温训练】 一、单选题 1．（2024·黑龙江·二模）已知复数z满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2024·河南新乡·三模）已知为纯虚数，则（    ） A．3 B． C． D． 3．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知复数，为虚数单位，则在复平面内复数所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（2024·山东泰安·二模）若复数满足，则（    ） A． B．2 C． D．1 5．（2024·江西景德镇·三模）下列有关复数，的等式中错误的是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·陕西西安·模拟预测）设，则（    ） A．2 B．1 C．4 D．3 7．（2024·甘肃酒泉·三模）已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则（    ） A