一元函数的导数及其应用专题五 讲义-2024届高三数学三轮复习

高中数学 2024年高考导数复习专题五 知识点一 求在曲线上一点处的切线方程（斜率）,利用导数研究不等式恒成立问题，利用导数研究函数的零点 典例1、已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）设，若恒成立，求实数a的取值范围； （3）若有两个零点，求实数a的取值范围. 随堂练习：已知函数，. （1）若曲线在点处的切线方程为y=0，求m的值； （2）若对任意，都有，求m的取值范围； （3）讨论在区间上的零点个数. 典例2、已知，设函数， （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，若不等式恒成立，求实数的值； （3）若函数与的图象没有交点，求实数的取值范围． (注：题中为自然对数的底数，即) 随堂练习：已知函数．（注：是自然对数的底数） （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若只有一个极值点，求实数a的取值范围； （3）若存在，对与任意的，使得恒成立，求的最小值． 典例3、设函数． （1）若曲线在点处的切线方程为，求的值； （2）若，求实数的取值范围； （3）求证：当时，函数不存在零点． 随堂练习：已知函数． （1）求函数在处的切线方程； （2）若关于x的不等式恒成立，求实数a的值； （3）设函数，在（2）的条件下，证明：存在唯一的极小值点，且． 知识点二 求在曲线上一点处的切线方程（斜率）,利用导数研究函数的零点 典例4、已知函数 求曲线在点处的切线方程 若函数，恰有2个零点，求实数a的取值范围 随堂练习：已知函数，. （1）求在点处的切线方程； （2）求证：当时，有且仅有个零点. 典例5、已知函数（）． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）若恰有两个零点，求实数的取值范围． 典例6、已知函数． （1）求曲线在点，处的切线方程； （2）当时，求的单调区间； （3）当时，在区间有一个零点，求的取值范围． 2024年高考导数复习专题五答案 典例1、答案：（1）；（2）；（3）. 解:（1）当时，，，所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）因为， 若恒成立，则恒成立，所以恒成立， 令，， 所以当时，单调递减，当时，单调递增， 所以，所以，故a的取值范围为. （3）若有两个零点，则有两个零点， 所以在上有两个解，所以在上有两个解， 令，，， 令，， 当时，单调递增，当时，单调递减， 所以，且， 所以在上，单调递增，在上，单调递减， 所以，又在上，；在上，， 所以a的取值范围为. 随堂练习：答案： （1）1 （2） （3）3、答案见解析 解：（1）因为曲线在点处的切线方程为y=0，所以，即，解得m=1. （2），， 由于在单调递增，所以. ①当时，，所以在单调递增，即. ②当时，令，解得， ，的情况如下： x - 0 + 单调递减 极小值 单调递增 函数在单调递减，即，不合题意. 综上，使在都成立的m的范围是. （3）根据第（2）的结论， ①当时，在单调递增，且有唯一零点x=0，所以在区间上没有零点； ②当时， 若，即时，在区间上有1个零点； 若，即时，在区间上没有零点； 综上，时，在区间上没有零点： 当时，在区间上有1个零点. 典例2、答案： （1）；（2）；（3）． 解:（1）时，，所以， 所以， 所以切线方程为：，即 （2） 设，， 又不等式： 恒成立，即恒成立， 故是的极大值点，所以，得； 另一方面，当时，，， 在区间单调递减，又，故在单调递增，单调递减， 所以，即恒成立 综合上述： （3）由题意，即方程没有实根， 我们先把方程有实根时，的取值范围求出，再关于取补集， 不妨设：()， 则方程变为， 设函数， ∵，在上递增， （） 设，则， 所以在上增，在上减 ，(的图象如图) 有实数解，结合， 则，有 即，所以方程有实根时，的取值范围为 所以方程没有实根时，的取值范围为． 随堂练习：答案： （1） （2） （3） 解：（1）当时，，故， 故在点处的切线方程为，化简得． （2）由题意知有且只有一个根且有正有负． 构建，则 ①当时，当时恒成立，在上单调递增， 因为， 所以有一个零点，即为的一个极值点； ②当时，当时恒成立，即无极值点； ③当时，当；当， 所以在单调递减，在上单调递增， 故， 若，则即. 当时，， 当时，, 设，故， 故在上为增函数，故， 故， 故当时，有两个零点，此时有两个极值点． 当时，当时恒成立，即无极值点；综上所述：． 由题意知，对与任意的，使得恒成立，则， 又要使取到最小值，则． 当时，，故，所