一元函数的导数及其应用专题四 讲义-2024届高三数学三轮复习

高中数学 2024年高考导数复习专题四 知识点一 求在曲线上一点处的切线方程（斜率）,利用导数研究函数的零点 典例1、已知函数f(x)＝2ex(x＋1)－xsinx－kx－2，k∈R． （1）若k＝0，求曲线y＝f(x)在x＝0处切线的方程； （2）讨论函数f(x)在[0，＋∞)上零点的个数． 随堂练习：已知函数． （1）求函数的图象在处的切线方程；（2）判断函数的零点个数，并说明理由. 典例2、已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论在区间上的零点个数. 随堂练习：已知函数. （1）若，求曲线的斜率等于3的切线方程； （2）若在区间上恰有两个零点，求a的取值范围. 典例3、已知函数，其中为常数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若函数在区间上只有一个零点，求的取值范围. 随堂练习：已知函数，其中. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在内只有一个零点，求的取值范围. 知识点二 求在曲线上一点处的切线方程（斜率）,利用导数研究不等式恒成立问题 利用导数研究函数的零点 典例4、已知函数，曲线在处的切线方程为. （1）求的值； （2）函数在区间上存在零点，求的值； （3）记函数，设（）是函数的两个极值点，若， 且恒成立，求实数的最大值. 随堂练习：已知函数 （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若，且在区间上恒成立，求的取值范围； （3）若，判断函数的零点的个数. 典例5、已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）函数在区间上有零点，求k的值； （3）记函数，设是函数的两个极值点，若， 且恒成立，求实数k的取值范围. 随堂练习：已知函数，设． （1）若，求的最小值 （2）若函数有两个零点，求实数m的取值范围； （3）若直线是曲线的一条切线，求证：，都有． 典例6、已知函数，（）. （1）求函数在点（e，e）处的切线方程； （2）已知，求函数极值点的个数； （3）若对任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围. 随堂练习：已知函数． （1）求函数在处的切线方程； （2）若对任意的，恒成立，求a的取值范围； （3）当a=3时，设函数，证明：对于任意的k<1，函数有且只有一个零点． 2024年高考导数复习专题四答案 典例1、答案：（1） （2）当时，有且仅有1个零点；当时，有有2个零点. 解：（1）当时，，， 则曲线在处切线的斜率为， 又，故切点为，因此切线方程为. （2）首先证明：当时，. 证明：设，，则，单调递增， 于是，即原不等式得证.，， 当时，， 故在上单调递增. 若，则当时，，单调递增， 又，故此时有且仅有1个零点. 若，则， 又， 所以在上存在唯一的零点，，当，，当，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又， 且，，因此在上有2个零点. 综上，当时，有且仅有1个零点；当时，有有2个零点. 随堂练习：答案：（1） （2）在区间上有且仅有一个零点，理由见解析 解：（1）， 所以函数的图象在处的切线方程为， 即. （2）设，则， ①当时，，所以单调递减；且，， 由零点存在定理可知，在区间存在唯一的，使 又当时，；当时，， 所以在上单调递增， 且， ，所以在上有唯一零点； 当时，单调递减，且，所以在上没有零点. ②当时， 单调递增，， ， 所以在区间有唯一零点，设为， 当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 在区间上，此时单调递减， 且，故有，此时单调递减，且， 由，得， 所以. 当时， ，所以单调递增， 又，故， ，， 所以存在，使，即，故为的极小值点. 此时. 所以在上没有零点. ③当时，， 所以，所以在区间上没有零点. 综上在区间上有且仅有一个零点. 典例2、答案：（1） （2）见解析 解：（1）当时， ，即切点的坐标为 切线的斜率 切线的方程为： 即 （2） 令 ，解得 ，在上递增 同理可得，在上递增上递减 讨论函数零点情况如下： （Ⅰ）当，即时，函数无零点，在上无零点 （Ⅱ） 当，即时，函数在上有唯一零点，而， 在上有一个零点 （Ⅲ）当，即时，由于， 当时，即时， ， 由函数的单调性可知，函数在上有唯一零点，在上有唯一零点， 在有两个零点 当，即时，，而且 ， 由函数单调性可知，函数在上有唯一零点， 在上没有零点，从而在有一个零点 综上所述，当时，函数在有无零点 当或时，函数在有一个零点 当时，函数在有两个零点 随堂练习：答案： （1）； （2）． 解: 由已知函数定义域是， （1），， 由解得（舍去）， 又，所以切线方程为，即； （2）， 易知只有一个极值点