一元函数的导数及其应用专题三 讲义-2024届高三数学三轮复习

高中数学 2024年高考导数复习专题三 知识点一 求过一点的切线方程,用导数判断或证明已知函数的单调性,利用导数研究方程的根, 利用导数研究双变量问题 典例1、已知函数，实数，为方程的两个不等的根. （1）求实数的取值范围；（2）证明：. 随堂练习：已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）设存在两个极值点，且，若，求证：. 典例2、已知，函数，其中为自然对数的底数. （1）判断函数的单调性； （2）若是函数的两个极值点，证明：. 随堂练习：已知函数． （1）若，证明：当时，；当时，． （2）若存在两个极值点，证明：． 典例3、已知函数(aR)． （1）讨论函数的单调性； （2）若，为函数的两个极值点，证明：． 随堂练习：1、设函数． （1）求函数的最小值； （2）设存在两个不同零点，，记，，求证：． 随堂练习：2、已知函数，，其中. （1）若函数的图象与直线在第一象限有交点，求的取值范围. （2）当时，若有两个零点，，求证：. 知识点二 由导数求函数的最值（不含参）,函数单调性、极值与最值的综合应用 利用导数研究函数的零点 典例4、已知函数． （1）求函数的最大值； （2）若函数有两个零点，求实数m的取值范围； （3）若不等式仅有一个整数解，求实数a的取值范围． 随堂练习：已知函数. （1）当时，求在区间上的最小值； （2）若有两个零点，求的取值范围. 典例5、已知函数． （1）当时，求的最小值； （2）若函数有两个不同的零点，求实数a的取值范围． 随堂练习：已知函数，． （1）当时，求函数的最小值； （2）当时，求证有两个零点，，并且． 典例6、已知函数． （1）当时，求的最小值； （2）若函数有两个不同的零点，求的取值范围． 随堂练习：已知函数. （1）求的最小值； （2）记为的导函数，设函数有且只有一个零点，求的取值范围. 2024年高考导数复习专题三答案 典例1、答案 （1） （2）证明见解析 解：（1）函数的定义域为， ， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则， 所以 （2）在处的切线的斜率为，其切线方程为， 首先证明： ， , 在上单调递增，在上单调递减, 的最大值，所以成立, 在处的切线的斜率为，其切线方程为， 再证明：, ， 在上单调递增，在上单调递减, 的最大值，所以成立, 不妨设，实数，为方程的两个不等的实根, 设直线与在处的切线的交点的横坐标为， 则可得, 由可得， 设直线与在处的切线的交点的横坐标为， 则可得, 由可得， 所以. （注：不等式，可以直接使用） 随堂练习：答案：（1）答案见解析 （2）证明见解析 解：（1）由题意可知，， 当时，，则在是单调递增；当时，若，即时，若，即时，和时，时，， 综上，时，在是单调递增； 时，在和递增， 在递减 （2）由题意可设，是的两个根， 则 （用分别表示出和）， 整理，得，此时 设，求导得 恒成立， 在上单调递减， 典例2、答案：（1）答案见解析 （2）证明见解析 解： （1）， 令，， 当时，， 所以有2个根：， 所以当或时，， 当时，， 所以当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，，所以恒成立，所以在上单调递增. 所以时，在上单调递增. 综上得：当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增. （2）因为是函数的两个极值点，所以是方程的两根， 设，则，， 要证明，即证， 即证， 即证， 令，则， 即证， 即证， 令， ， 所以在上单调递增， 所以，故结论成立. 随堂练习：（1）证明见解析；（2）证明见解析. 解：（1）当时，，定义域为， 在定义域上恒成立， 所以在上单调递减，当时，；当时，原命题得证． （2），若存在两个极值点，则，解得． 由韦达定理可知， 原命题即证：． 不妨设，原命题即证：，由（*）知， 齐次化，即证：，不放令， 原命题即证：，记， 则， 当时，在上单调递减，． 典例3、答案： （1）答案见解析；（2）证明见解析. 解:（1），令 当即时，，在上单调递增； 当即或时， ① 当时，在上单调递增； ② 当时，令， + 0 - 0 + 递增 极大值 递减 极小值 递增 综上：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增， 在上单调递减. （2）由（1）知时有两个极值点， 且，不妨设， 要证即证， 即， 设由（1）知当时，在上单调递增， ，则在上单调递减， .原式得证. 随堂练习：1、答案： （1）；（2）证明见解析. 解:（1）函数，定义域为， ， 当时，，函数在上单调递减； 当时