专题19 利用导数研究函数的零点-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）

专题19 利用导数研究函数的零点（新高考专用） 目录 【真题自测】 2 【考点突破】 3 【考点1】判断、证明或讨论零点的个数 3 【考点2】根据零点情况求参数范围 4 【考点3】与函数零点相关的综合问题 5 【分层检测】 7 【基础篇】 7 【能力篇】 8 【培优篇】 9 真题自测 一、单选题 1．（2023·全国·高考真题）函数存在3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、解答题 2．（2023·全国·高考真题）（1）证明：当时，； （2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围． 3．（2022·全国·高考真题）已知函数． (1)当时，求的最大值； (2)若恰有一个零点，求a的取值范围． 4．（2022·全国·高考真题）已知函数． (1)若，求a的取值范围； (2)证明：若有两个零点，则． 5．（2022·全国·高考真题）已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围． 6．（2021·全国·高考真题）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）从下面两个条件中选一个，证明：只有一个零点 ①； ②． 考点突破 【考点1】判断、证明或讨论零点的个数 一、单选题 1．（2022·浙江宁波·模拟预测）已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为（    ） A．3 B．4 C．2或3或4或5 D．2或3或4或5或6 二、多选题 2．（2023·湖南·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．在区间上单调递增 C．将函数图象上各点横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，可得函数的图象 D．函数的零点个数为7 三、填空题 3．（2021·浙江·模拟预测）已知实数且，为定义在上的函数，则至多有 个零点；若仅有个零点，则实数的取值范围为 ． 四、解答题 4．（2024·四川成都·二模）已知函数. (1)判断的零点个数并说明理由； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 5．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）已知函数. (1)时，求的零点个数； (2)若时，恒成立，求a的取值范围. 6．（2022·全国·模拟预测）已知函数，. (1)当时，求证：； (2)求函数的零点个数. 反思提升： 利用导数求函数的零点常用方法 (1)构造函数g(x)，利用导数研究g(x)的性质，结合g(x)的图象，判断函数零点的个数. (2)利用零点存在定理，先判断函数在某区间有零点，再结合图象与性质确定函数有多少个零点. 【考点2】根据零点情况求参数范围 一、单选题 1．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设函数若恰有5个不同零点，则正实数的范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（2021·山东聊城·二模）用符号表示不超过的最大整数，例如：，.设有3个不同的零点，，，则（    ） A．是的一个零点 B． C．的取值范围是 D．若，则的范围是. 三、填空题 3．（2021·安徽安庆·三模）已知函数有三个零点，，，且，其中，为自然对数的底数，则的范围为 ． 四、解答题 4．（2023·陕西宝鸡·模拟预测）设函数 (1)若时函数有三个互不相同的零点，求m的范围； (2)若函数在内没有极值点，求a的范围； 5．（23-24高三上·辽宁沈阳·开学考试）已知函数. (1)若，求函数在处的切线方程； (2)若函数在区间上有且只有一个零点，求实数的范围. 6．（2023·天津滨海新·模拟预测）已知函数，. (1)若，求的单调区间. (2)若，且在区间上恒成立，求a的范围； (3)若，判断函数的零点的个数. 反思提升： 1.函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，根据图象的几何直观求解. 2.与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点判断函数的大致图象，进而求出参数的取值范围.也可分离出参数，转化为两函数图象的交点情况. 【考点3】与函数零点相关的综合问题 一、单选题 1．（2024·湖北·二模）已知函数（e为自然对数的底数）．则下列说法正确的是（    ） A．函数的定义域为R B．若函数在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，则 C．当时，可能有三个零点 D．当时，函数的极小值大于极大值 二、多选题 2．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数，下列说法正确的有（     ） A．当时，则在上单调递增 B．当时，函数有唯一极值点 C．若函数只有两个不等于1的零点，则必有 D．若函数有三个零点，则 三、填空题 3．（2024·安徽·模拟预测）对于函数，当该函数恰有两个零点时，设两个零点中最大值为，当该函数恰有四个零点时，设这四个零点中最大值为，求