微专题23 利用几何法5种求异面直线所成的角-2023-2024学年高一数学微专题期末精准突破（人教A版2019必修第二册）

2023-2024学年高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第二册） 微专题23 利用几何法5种求异面直线所成的角 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 利用几何图形的性质直接平移 考点二 构造平行四边形平移 考点三 中位线平移 考点四 补形平移法 考点五 通过证线面垂直证异面直线所成的角为90° 考点六 由异面直线所成的角求其他量 1.异面直线所成的角 ①定义：设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，把与所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角（或夹角）． ②范围： 2.求异面直线所成角一般步骤： （1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线． （2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角． （3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之． （4）取舍：因为异面直线所成角的取值范围是， 所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角． 3.求异面直线所成角的方法： 异面直线所成角问题是立体几何常见问题类型，解题核心是构建异面直线所成的平面角. ①平移法 求异面直线所成角的基本思想是平移转换，核心内容是直线平移或探寻平行直线，以及依托三角形构造夹角，一般分三步进行，过程总结如下. 第一步，对异面直线进行平移或平行转换，有两种策略：一是固定一条直线，平移另一条；二是将两条直线同时平移到某一特殊位置，构成同一平面. 第二步，构建异面直线所成角，或者证明图形中某一夹角为所求角. 第三步，依托所求角构造三角形，通过解三角形完成求解. 另外，对于异面直线所成角问题，需要关注角度的取值范围，即取值范围为,故完成角度求解后，还需对其验证. 实际上可将平移法细分为四种，分别为直接平移、中位线平移、平行四边形平移、补形平移 ②补形平移法 ③通过证线面垂直证异面直线所成的角为 考点一 利用几何图形的性质直接平移 1.在空间中，直线平行于直线，直线为异面直线，若，则异面直线所成角的大小为______． 2.在正方体中，E，F分别是线段，的中点，则异面直线，EF所成角余弦值是（    ） A． B． C． D． 3.如图所示，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4.如图，在直三棱柱中，为上一点，平面分三棱柱为上下体积相等的两部分，则与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 考点二 构造平行四边形平移 5.在正方体中，直线与所成角大小为 ． 6.如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，异面直线AB与CD的夹角为__________． 7.已知正三棱柱的所有棱长均相等，点为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 8.如图，在正方体 中，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 9.在直三棱柱中， ，，分别是，的中点， ，则与所成角的余弦值是_____________. 10.如图，在三棱柱中，底面是正三角形，侧棱与底面垂直，且分别是的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 11.如图，圆柱的底面直径与母线相等，是弧的中点，则与所成的角为（    ） A． B． C． D． 12.已知正方体，O是底对角线的交点. (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求证：平面. 13.在平行六面体中，底面是菱形，，与底面垂直，，分别在和上，且，，，，则异面直与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 考点三 中位线平移 14.在正四面体中，棱长为2，且是棱中点，则异面直线与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 15.在正三棱柱中，，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 16.在空间四边形ABCD中，，点M､N分别为BD､AC的中点. (1)若直线AB与MN所成角为60°，求直线AB与CD所成角的大小； (2)若直线AB与CD所成角为，求直线AB与MN所成角的大小. 17.已知等边三边形的边长为4，为的中点，将沿折到，使得为等边三边形，则直线与所成的角的余弦值为（    ） A． B．0 C． D． 18.如图，在四棱锥中，平面，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 19.已知四面体中，、、分别为、、的中点，且异面直线与所成的角为，则_________. 20.在正三棱柱中，D为棱AB的中点，与交于点E，若，则CD与所成角的余弦值为___． 21.如图，已知在长方体中，，，点是的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成