2.2 直线的方程-2024-2025学年高二数学新教材【教材解读】（人教A版2019选择性必修第一册）

2.2 直线的方程 [核心素养·学习目标] 课程标准 核心素养 　　根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，体会斜截式与一次函数的关系. 数学抽象 直观想象 课前预习 预习01直线的点斜式方程和斜截式方程 点斜式 斜截式 已知条件 点P(x0，y0)和斜率k 斜率k和直线在y轴上的截距__ 图示 方程形式 y－y0＝___________ ____________ 适用条件 斜率存在 预习02直线在轴上的截距 定义:直线与轴的交点的纵坐标 符号:可正,可负,也可为零. 要点　直线的两点式方程和截距式方程 名称 两点式 截距式 条件 两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2) 在x，y轴上的截距分别为a，b(a≠0，b≠0) 示意图 方程 ＝ ＋＝1 适用范围 预习03二元一次方程与直线的关系 二元一次方程的每一组解都可以看成是平面直角坐标系中一个点的 ，这个方程的全体解组成的集合，就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合，这些点的集合就组成了一条 .在平面直角坐标系中，任意一个二元一次方程是直角坐标平面上一条确定的直线；反之，直角坐标平面上的任意一条直线可以用一个确定的二元一次方程表示． 预习04一般式方程的概念：把关于x，y的二元一次方程 (其中A，B不同时为0)叫做直线的 ，简称 . 预习05直线方程的五种形式 形式 方程 局限 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不能表示斜率不存在的直线 斜截式 y＝kx＋b 不能表示斜率不存在的直线 两点式 ＝ x1≠x2，y1≠y2 截距式 ＋＝1 不能表示 一般式 无 思考：当A＝0或B＝0时，方程Ax＋By＋C＝0分别表示什么样的直线？ 【特别注意】 (1)若A＝0，此时B≠0，方程化为y＝－，表示与y轴垂直的一条直线． (2)若B＝0，此时A≠0，方程化为x＝－，表示与x轴垂直的一条直线． 知识讲解 知识点01 直线的点斜式方程的定义 已知直线l经过点，且斜率为k，则直线l的方程为． 这个方程是由直线上一定点及其斜率确定的，因此称为直线的点斜式方程，简称点斜式． 当直线l的倾斜角为0°时（如图1），，即k=0，这时直线l与x轴平行或重合，l的方程就是，或． 当直线l的倾斜角为90°时（如图2），直线没有斜率，这时直线l与y轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示．因为这时l上每一点的横坐标都等于，所以它的方程是，或． 知识点02 直线的点斜式方程的推导 如图，设点是直线l上不同于点的任意一点，根据经过两点的直线的斜率公式得 （1），即 （2）． 注意：方程（1）与方程（2）的差异：点的坐标不满足方程（1），但满足方程（2），因此，点不在方程（1）表示的图形上，而在方程（2）表示的图形上，方程（1）不能称为直线l的方程． 上述过程可以证明直线上每个点的坐标都是方程（2）的解．对上面的过程逆推，可以证明以方程（2）的解为坐标的点都在直线l上，所以这个方程就是过点，斜率为k的直线l的方程． 【特别注意】（1）当直线的斜率存在时，才能用直线的点斜式方程． （2） 当取任意实数时，方程表示过定点的无数条直线． 知识点03 直线的斜截式方程的定义 我们把直线l与y轴交点的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距． 如果直线l的斜率为k，且在y轴上的截距为b，则方程为，即叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 当b=0时，表示过原点的直线；当k=0且b≠0时，表示与x轴平行的直线；当k=0且b=0时，表示与x轴重合的直线． 【特别注意】（1）纵截距不是距离，它是直线与y轴交点的纵坐标，所以可取一切实数，即可为正数、零或负数． 纵截距也可能不存在，比如当直线与y轴平行时． （2）由于有些直线没有斜率，即有些直线在y轴上没有截距，所以并非所有直线都可以用斜截式表示． 知识点04直线系方程 1.过定点的直线系方程 当直线过定点时，我们可设直线方程为．由此方程可知，k取不同的值时，它就表示不同的直线，且每一条直线都经过定点，当k取遍所允许的每一个值后，这个方程就表示经过定点的许多直线，所以把这个方程叫做过定点的直线系方程． 由于过点与x轴垂直的直线不能被表示，因此直线系 （）中没有直线． 2．平行直线系方程 在斜截式方程中，若k一定，而b可变动，方程表示斜率为k的一束平行线，这些直线构成的集合我们称之为平行直线系． 知识点05中点坐标公式 若点的坐标分别为，且线段的中点的坐标为，则．此公式为线段的中点坐标