2.1.2 两条直线平行和垂直的判定--2024-2025学年高二数学新教材【教材解读】（人教A版2019选择性必修第一册）

2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 [核心素养·学习目标] 课程标准 课标解读 1． 理解两条直线平行的条件及两条直线 垂直的条件，能根据直线的斜率判断两条直线平行或垂直. 2.能应用两条直线平行或垂直解决相关问题，理解用代数法解决几何问题. 通过本节课的学习，理解两条直线平行与垂直的几何位置与代数运算相结合的条件与意义，能应用两直线的斜率的关系判断两直线的位置关系，并能解决与两条直线位置关系相关联的综合问题. 课前预习 预习01两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 对应关系 ⇔ ⇔ 图示 思考：两直线的斜率相等是两直线平行的充要条件吗？ 提示 不是，垂直于x轴的两条直线，虽然平行，但斜率不存在． 预习02两条直线垂直的判定 图示 对应 关系 若(两直线的斜率都存在) ⇔ 的斜率不存在，的斜率为0⇔ 思考：当直线m与直线n平行或垂直时，它们对应的斜率有怎样的关系？ 【特别注意】 1. 当两直线平行时，它们对应的斜率相等． 2. 当两直线垂直时，它们对应的斜率的乘积为－1. 3. 特别地，当两直线的斜率都不存在时，两直线平行． 4. 当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线垂直． 知识讲解 知识点01 两直线平行 1．特殊情况下的两条直线平行的判定 两条直线中有一条直线没有斜率，当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，故它们互相平行． 2．两条直线的斜率都存在时，两条直线平行的判定 两条直线都有斜率而且不重合时，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即． 证明如下： 设两条直线的斜率分别为． 如果（如图），那么它们的倾斜角相等，即．∴，∴． 反过来，如果两条直线的斜率相等，即，那么． 由于，∴．又两条直线不重合，∴． 知识点02 两直线垂直 1．特殊情况下的两条直线垂直的判定 当两条直线中有一条直线没有斜率，另一条直线的斜率为0时，即一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°时，两条直线互相垂直． 2．两条直线的斜率都存在时，两条直线垂直的判定 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于-1；反之，如果两条直线的斜率之积等于−1，那么它们互相垂直，即． 证明如下： 设两条直线与的倾斜角分别为与． 如果，这时．否则，则，与相矛盾． 设（如下图）， 图（1）的特征是与的交点在x轴上方； 图（2）的特征是与的交点在x轴下方； 图（3）的特征是与的交点在x轴上，无论哪种情况下都有． ∵，的斜率分别是，且，∴． ∴． ∴，即． 反过来，若，即． 不失一般性，设，则，即， ∴． 【大招总结】 大招1两条直线平行的判定及应用 k1＝k2⇔l1∥l2是针对斜率都存在且不重合的直线而言的，对于斜率不存在或可能不存在的直线，要注意利用图形．　　　　 大招2 两条直线垂直的判定及应用 利用斜率公式来判定两直线垂直的方法 (1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在只需看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步． (2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式． (3)三求：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论． 大招3两直线平行与垂直的综合应用 　 利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤 典型例题 题型01两条直线平行的判定及应用（两条直线平行关系的判定） 【例1】判断下列各题中直线l1与l2是否平行． (1)的斜率为2，经过，两点； (2)经过，两点，平行于x轴，但不经过，两点； (3)l1经过点A(－1，－2)，B(2,1)，l2经过点M(3,4)，N(－1，－1)； (4)l1经过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2经过点M(5，－2)，N(5,5)． 【解析】(1)经过，两点，则，则，可得两直线平行. (2)经过，两点，可得平行于x轴，平行于x轴，但不经过P，Q两点，所以； (3)k1＝＝1，k2＝＝.∵k1≠k2，∴l1与l2不平行． (4)∵l1与l2都与x轴垂直，且l1与l2不重合，∴l1∥l2. 【变式】直线的倾斜角为，经过点，，则直线与直线的位置关系是（       ） A．平行 B．垂直 C．重合 D．平行或重合 题型02 两条直线平行的判定及应用（两条直线平行关系的应用） 【例2】经过点P(－2，m)和Q(m,4)的直线平行于斜率等于1的直线，则m的值是(　　) A．4　　　　　　　　　 B．1 C．1或3 D．1或4 【解析】由题意，知＝1，解得m＝1.故选B 【变式】若过点和点的直线