精品解析：湖南省常德市普通高中沅澧共同体2024届高三第一次联考数学试卷

常德市普通高中沅澧共同体2024届高三第一次联考（数学试题卷） 时量：120分钟 满分：150分 命题单位：常德外国语学校 审题单位： 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知等比数列中，，，则公比为（ ） A. B. 2 C. D. 4 4. 已知，则（ ） A B. C. D. 5. 已知三棱锥中，平面，4，3，，7，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线方程为:，焦点为.圆方程为，设为抛物线上的点， 为圆上的一点，则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7. 将三个分别标注有 ，x，的三个质地均匀的小球放入一个不透明的小盒中.无放回的随机取出2个小球（每次取一球），分别记录下小球的标注为.若 ，则在上单调递减的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且满足．若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知关于x的方程 的两复数根为和则（ ） A. B. C. D. 10. 若定义在上的连续函数满足对任意的实数都有且，则下列判断正确的有（ ） A. 函数的图象关于原点对称 B. 定义域上单调递增 C 当时， D. 11. 已知正方形边长为4，将沿向上翻折，使点与点重合，设点为翻折过程中点的位置（不包含在点处的位置），则下列说法正确的有（ ） A. 无论点在何位置，总有 B. 直线与平面所成角的最大值为 C. 三棱锥体积的范围为 D. 当平面平面时，三棱锥的内切球的半径为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在处的切线方程是__________________________ 13. 已知双曲线 的左右焦点分别为，过点的直线交双曲线右支于两点，且，，则双曲线的离心率为______________ 14. 如图，四边形是边长为1的正方形，延长CD至E，使得．动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，，则的取值范围为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角的对边分别是，且. （1）判断的形状； （2）若的外接圆半径为，求周长的最大值. 16. 已知直三棱柱中，，分别为和的中点，为棱上的动点，. （1）证明：平面平面； （2）设，是否存在实数，使得平面与平面所成的角的余弦值为? 17. 某市共有教师1000名，为了解老师们的寒假研修学习情况，评选研修先进个人，现随机抽取了10名教师利用“学习APP”学习的时长数据（单位：小时）：35，43，90，83，50，45，82，75，62，35.学习时长不低于80小时的教师评为“研修先进个人”. （1）现从该样本中随机抽取3名教师的学习时长，求这3名教师中恰有1名教师是研修先进个人的概率. （2）若该市所有教师的学习时长近似地服从正态分布，其中，为抽取的10名教师学习时长的样本平均数，利用所得正态分布模型解决以下问题： ①试估计学习时长不低于50小时的教师的人数（结果四舍五入到整数）； ②若从该市随机抽取的n名教师中恰有ξ名教师的学习时长在内，则当的均值不小于32时，n的最小值为多少？ 附：若随机变量服从正态分布 ，则，，. 18. 已知椭圆 的短轴长为，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，且的周长为. （1）求椭圆的方程； （2）过作垂直于轴的直线与椭圆交于 两点（点在第一象限），是椭圆上位于直线两侧的动点，始终保持，求证：直线的斜率为定值. 19. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）证明：； （3）若函数有三个不同的零点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 常德市普通高中沅澧共同体2024届高三第一次联考（数学试题卷） 时量：120分钟 满分：150分 命题单位：常德外国语学校 审题单位： 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C