4.7 .1 相似三角形中的对应线段之比课件 2023--2024学年北师大版九年级数学上册

第四章 图形的相似 4.7 相似三角形的性质 第1课时 相似三角形中的对应线段之比 九年级上册数学（北师版） 思考：三角形中，除了角度和边长外，还有哪些几 何元素？ 高、角平分线、中线，周长、面积等 高 角平分线 中线 情境导入 如图，小王依据图纸上的 △ABC，以 1 : 2 的比例建造了模型房的房梁 △A'B'C'，CD 和 C'D' 分别是它们的立柱. (1) △ACD 与 △A'C'D' 相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比. (2) 如果 CD = 1.5 cm，那么 模型房的房梁立柱有多高？ 探究新知 相似三角形对应高的比、角平分线的比、对应中线的比都等于相似比 1 解：(1) ∵△ABC ∽△A′B′C′， ∴∠A =∠A' . 又 ∠ADC =∠A'D'C' = 90°. ∴△ACD ∽△A'C'D'. C A B C' A' B' D' D ∴CD ∶C'D' = AC ∶A'C' =1 ∶2. (2) ∵CD ∶C'D' =1 ∶2， 且 CD = 1.5 cm， ∴C'D' = 3 cm. 已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC 与△A′B′C′ 的相似比为 k，它们对应高的比各是多少？对应角平分线的比是多少？对应中线的比呢？请证明你的结论. A B C A' B' C' 想一想 ∵△ABC ∽△A′B′C′， ∴∠B =∠B' . 解：如图，分别作出 △ABC 和 △A'B'C' 的高 AD 和 A'D'． 则∠ADB =∠A'D'B' = 90°. ∴△ABD ∽△A'B'D'. A B C A' B' C' D' D A B C D A' B' D' C' 已知 △ABC∽△A′B′C′，AD、A′D′ 分别为对应角的角平分线， 求证： 证明：∵ △ABC ∽ △A′B′C′， ∴ ∠A′B′C′ =∠ABC， ． 又 ∵AD，AD′ 分别为对应边的中线， ∴BC = 2BD . ∴ △ABD ∽ △A′B′D′. 证明：∵△ABC∽△A′B′C′， ∴∠A′B′C′ =∠ABC，∠B′A′C′ =∠BAC． 又∵AD、AD′分别为对应角的角平方线， ∴∠ABE =∠A′B′E′. ∴ △ABE∽△A′B′E′. A B C E A' B' C' E' 已知△ABC∽△A′B′C′，AD、A′D′ 分别为对应边上的中线， 求证： 相似三角形对应边上的高的比、对应角的角平分线的比、对应边上的中线的比都等于相似比． 归纳总结 1. △ABC ∽ △A1B1C1 ，BD 和 B1D1 是它们的中线，已知 ，B1D1 = 4 cm，则 BD = cm. 6 2. △ABC ∽ △A1B1C1，AD 和 A1D1 是 BC 和 B1C1边上的高，已知 AB = 8 cm， A1B1 = 3 cm ，则 △ABC 与 △A1B1C1 的对应高之比为 . 8 : 3 练一练 如图，已知 △ABC ∽ △A'B'C'，△ABC 与 △A'B'C' 的相似比为 k；点 D，E 在 BC 边上，点 D'，E' 在 B'C' 边上. (1) 若∠BAD = ∠BAC，∠B'A'D' = ∠B'A'C'，则 等于多少？ 议一议 易证 △ABD ∽ △A′B′D′. (2) 若 BE = BC，B'E' = B'C'，则 等于多少？ (3) 你还能提出哪些问题？与同伴交流. 易证 △ABE ∽ △A′B′E′. 若将 (2)、(3) 中的 换成 、 或 (k ≠ 0)，结论还成立吗？ (1) 中的线段 AD 与 A'D'、(2) 中的线段 AE 与 AE' 有什么共同的特点？ 典例精析 例1 如图，AD 是 △ABC 的高，AD = h，点 R 在 AC 边上，点 S 在 AB 边上，SR⊥AD，垂足为 E. 当 SR = BC 时，求 DE 的长. 如果 SR = BC 呢？ S R E D C B A 解：∵ SR⊥AD，BC⊥AD，∴ SR // BC. ∴∠ASR =∠B，∠ARS =∠C. ∴△ASR ∽△ABC (两角分别相等的两个三角形相似) S R E D C B A ∴ (相似三角形对应高的比等于相似比). 即 . ∴当 SR = BC 时，得