第四节利用导数解决实际应用问题专题训练-2025届高三数学一轮复习

江苏省泗阳实验高级中学2024-2025学年高三一轮复习精品午练专题训练篇 编号0025 利用导数解决实际应用问题专题训练 一单选题（共8小题，每题5分，满分为40分） 1．能被3个半径为1的圆形纸片完全覆盖的最大的圆的半径是( ) A. B. C. D. 2．已知球O的半径为2,圆锥内接于球O,当圆锥的体积最大时,圆锥内切球的半径为( ) A. B. C. D. 3．欲制作一个容积为V的圆柱形蓄水罐（无盖），为能使所用的材料最省，它的底面半径应为( ) A. B. C. D. 4．如图，圆O的半径为1，从中剪出扇形AOB围成一个圆锥（无底），所得的圆锥的体积的最大值为( ) A. B. C. D. 5．现需建造一个容积为V的圆柱形铁桶，它的盖子用铝合金材料，已知单位面积的铝合金的价格是铁的3倍.要使该容器的造价最低，则铁桶的底面半径r与高h的比值为( ) A. B. C. D. 6．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一件产品，成本增加100元，已知总收入R与年产量x的关系是则总利润（总利润=总收入-总成本）最大时，年产量应为( ) A.100件 B.150件 C.200件 D.300件 7．已知正三棱锥的侧棱长为l,其各顶点都在同一球面上.若该球的表面积为,且,则该正三棱锥体积的取值范围是( ) A. B. C. D. 8．晶胞是构成晶体的最基本的几何单元，是结构化学研究的一个重要方面.在如图1所示的体心立方晶胞中，原子A与B（可视为球体）的中心分别位于正方体的顶点和体心，且原子B与8个原子A均相切.已知该晶胞的边长（图2中正方体的棱长）为，则图1中所有原子（8个A原子与1个B原子）的体积之和最小值为( ) A. B. C. D. 二多选题（共3小题，每题6分，满分为18分） 9．将圆柱的下底面圆置于球O的一个水平截面内,恰好使得与水平截面圆的圆心重合,圆柱的上底面圆的圆周始终与球O的内壁相接(球心O在圆柱内部).已知球O的半径为3,.若R为上底面圆的圆周上任意一点,设RO与圆柱的下底面所成的角为,圆柱的体积为V,则( ) A.可以取到中的任意一个值 B. C.的值可以是任意小的正数 D. 10．国家统计局公布的全国夏粮生产数据显示，2020年国夏粮总产量达14281万吨，创历史新高.粮食储藏工作关系着军需民食，也关系着国家安全和社会稳定.某粮食加工企业设计了一种容积为立方米的粮食储藏容器，如图1所示，已知该容器分上下两部分，中上部分是底面半径和高都为米的圆锥，下部分是底面半径为r米､高为h米的圆柱体，如图2所示.经测算，圆锥的侧面每平方米的建造费用为元，圆柱的侧面､底面每平方米的建造费用为a元，设每个容器的制造总费用为y元，则下面说法正确的是( ) A. B.h的最大值为 C.当时， D.当时，y有最小值，最小值为 11．如图，一块边长为正方形铁片上有四个以O为顶点的全等的等腰三角形（如图1），将这4个等腰三角形裁下来，然后用余下的四块阴影部分沿虚线折叠，使得A，重合，B，重合，C，重合，D，重合，，，，重合为点P，得到正四棱锥（如图2）．则在正四棱锥中，以下结论正确的是( ) A.平面平面OBD B.平面OBC C.当时，该正四棱锥内切球的表面积为 D.当正四棱锥的体积取到最大值时， 三填空题（共3小题，每题5分，满分为15分） 12．为了应对比赛，某运动会组委会将对泳池进行检修，已知泳池深度为，其容积为，如果池底每平方米的维修费用为150元，设较短池壁长度为x，且据估计较短的池壁维修费用与池壁长度成正比，且比例系数为，较长的池壁总维修费用满足代数式，则当泳池的维修费用最低时，x的值为_________. 13．《论球与圆柱》是古希腊数学家阿基米德的得意杰作,据传说在他的墓碑上刻着一个圆柱,圆柱内有一个球,且与圆柱的上､下底面及侧面均相切.如图,半径为1的球O与圆柱的侧面及上､下底面均相切,四边形为圆柱的轴截面,球O被过点D的平面所截得到小圆,当圆锥的体积最大时,点D与小圆上点的距离的最小值为_________________. 14．“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题.现有一“圆材埋壁”的模型，其截面图如图所示，若圆柱形材料的底面半径为1，高为2，截面圆圆心为O，墙壁截面ABCD为矩形，且，墙高与圆材高度一致，则当该模型体积最大时，________，该圆材裸露在外部分的体积与埋入墙壁部分的体积的比值________. 四解答题